Какова должна быть наименьшая сторона квадрата из стали, чтобы его относительное удлинение не превышало I/2000

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать закон Гука и формулу для относительного удлинения материала.

Итак, начнем с формулы закона Гука:

\[\sigma = \frac{F}{A}\]

где \(\sigma\) - напряжение, \(F\) - усилие и \(A\) - площадь сечения.

Затем, воспользуемся формулой для относительного удлинения:

\[\frac{\Delta L}{L} = \frac{\sigma}{E}\]

где \(\Delta L\) - изменение длины, \(L\) - исходная длина, \(\sigma\) - напряжение и \(E\) - модуль упругости.

Мы хотим, чтобы относительное удлинение не превышало \(I/2000\) и напряжение не превышало \(120 \, \text{МПа}\). Поэтому, мы можем записать два условия:

\[\frac{\Delta L}{L} \leq \frac{I}{2000}\]
\[\sigma \leq 120 \, \text{МПа}\]

Давайте решим задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем площадь сечения квадрата. Пусть сторона квадрата равна \(x\), тогда его площадь будет \(A = x^2\).

Шаг 2: Найдем напряжение в стали. Подставим значение усилия \(F = 120 \, \text{кН}\) и площади сечения \(A = x^2\) в формулу напряжения:

\[\sigma = \frac{F}{A} = \frac{120 \times 10^3}{x^2}\]

Шаг 3: Найдем относительное удлинение материала. Подставим значение модуля упругости \(E = 2 \times 10^5\) и напряжения \(\sigma\) в формулу относительного удлинения:

\[\frac{\Delta L}{L} = \frac{\sigma}{E} = \frac{\frac{120 \times 10^3}{x^2}}{2 \times 10^5} = \frac{6}{x^2} \times 10^{-3}\]

Шаг 4: Установим условия задачи для относительного удлинения и напряжения:

\[\frac{\Delta L}{L} \leq \frac{I}{2000} \Rightarrow \frac{6}{x^2} \times 10^{-3} \leq \frac{I}{2000}\]
\[\sigma \leq 120 \, \text{МПа}\]

Шаг 5: Решим первое неравенство относительного удлинения для \(x\):

\[\frac{6}{x^2} \times 10^{-3} \leq \frac{I}{2000}\]
\[\frac{6}{x^2} \leq \frac{I}{2000} \times \frac{1}{10^{-3}} = \frac{I}{2}\]
\[x^2 \geq \frac{2}{I} \times 6\]
\[x^2 \geq \frac{12}{I}\]

Шаг 6: Решим второе неравенство напряжения для \(x\):

\[\sigma \leq 120 \, \text{МПа}\]
\[\frac{120 \times 10^3}{x^2} \leq 120 \, \text{МПа}\]
\[x^2 \geq \frac{120 \times 10^3}{120 \times 10^6}\]
\[x^2 \geq 10^{-3}\]

Шаг 7: Сравним результаты из шагов 5 и 6 и выберем наибольшее значение \(x^2\):

\[x^2 \geq \max\left(\frac{12}{I}, 10^{-3}\right)\]

Найдем наименьшее положительное значение для \(x\) из этого неравенства, чтобы его относительное удлинение не превышало \(I/2000\) и напряжение не превышало \(120 \, \text{МПа}\).