Какова длина третьей стороны треугольника, если она соотносится с радиусом описанной окружности и других двух сторон

Чтобы решить эту задачу, давайте вначале вспомним некоторые основные свойства треугольников. В треугольнике, описанном около окружности, радиус окружности является мерой расстояния между центром окружности и вершиной треугольника.

Пусть радиус описанной окружности треугольника равен \( r \). По условию, две других стороны треугольника равны 5 см каждая. Обозначим третью сторону треугольника как \( c \).

Основываясь на теореме косинусов, мы можем установить следующее соотношение:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

где \( a \) и \( b \) - это длины известных сторон треугольника, а \( C \) - это мера угла между этими сторонами.

В нашем случае, стороны \( a \) и \( b \) равны 5 см каждая. Также стороны \( a \) и \( b \) соответствуют углам, противолежащим этим сторонам, поэтому угол \( C \) равен 120 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов и 180 - 60 - 60 = 120).

Теперь мы можем заменить известные значения в формуле:

\[ c^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(120) \]

Вычислим значение выражения в косинусе:

\[ \cos(120) = -\frac{1}{2} \]

Подставим это значение:

\[ c^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]

Упростим выражение:

\[ c^2 = 25 + 25 + 25 = 75 \]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения для нахождения значения \( c \):

\[ c = \sqrt{75} \]

Раскроем корень:

\[ c = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \]

Таким образом, длина третьей стороны треугольника равна \( 5\sqrt{3} \) см.