Какова длина стороны правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность с тем же радиусом? Ответ представьте

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать геометрические свойства правильного многоугольника, вписанного в окружность.

Правильный многоугольник – это такой многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Известно, что вписанный в окружность правильный многоугольник имеет центр в точке окружности и все его вершины лежат на окружности.

Для нахождения длины одной стороны правильного двенадцатиугольника воспользуемся свойством данного типа многоугольника. У правильного двенадцатиугольника вписанного в окружность с радиусом \(r\) имеется двенадцать равных угловых секторов. Каждый угловой сектор равен \(360^\circ/12\), что равно \(30^\circ\).

Таким образом, мы нашли, что каждый угол в вершине правильного двенадцатиугольника равен \(30^\circ\).

Теперь нам нужно найти длину стороны правильного двенадцатиугольника. Используем дополнительное геометрическое свойство, связанное с центральным углом и дугой на окружности.

Длина дуги, соответствующей одному угловому сектору \(30^\circ\), можно найти с помощью формулы для длины дуги: \(L = \frac{{2\pi r \cdot \theta}}{{360^\circ}}\), где \(L\) - длина дуги, \(\pi\) - число пи, \(r\) - радиус окружности, \(\theta\) - центральный угол в градусах.

Подставим в эту формулу значения: \(L = \frac{{2\pi r \cdot 30^\circ}}{{360^\circ}}\).

Упростим выражение: \(L = \frac{{\pi \cdot r \cdot 30}}{{180}}\).

Так как в непосредственной близости нам нужна длина одной стороны правильного двенадцатиугольника, а не длина дуги, мы должны учесть, что у этого многоугольника имеется 12 сторон.

Тогда длина одной стороны равна длине дуги, соответствующей одному угловому сектору, умноженной на отношение числа сторон к числу угловых секторов:
\[l = L \cdot \frac{{12}}{{1}} = \frac{{\pi \cdot r \cdot 30 \cdot 12}}{{180}}\].

Таким образом, длина стороны правильного двенадцатиугольника составляет \(\frac{{2\pi \cdot r}}{{\sqrt{6 - 2\sqrt{3}}}}\) или примерно равна \(\frac{{2\pi \cdot r}}{{5.54}}\) (с точностью до второго знака после запятой).