Какова длина стороны BG четырёхугольника BSTG, если известно, что BS = 3,7, ST = 3,6, TG = 7,77, а диагональ BT = 5,4?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Она гласит:

В треугольнике с сторонами a, b и c и углом α против стороны a, косинус угла α равен:
\[
\cos(\alpha) = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}
\]

Теперь мы можем применить эту формулу для нашей задачи. Пусть сторона BG имеет длину x. Мы знаем, что ST = 3,6, TG = 7,77 и BT = 5,4.

Применяя теорему косинусов к треугольнику BST, получим:
\[
\cos(\angle BST) = \frac{{BS^2 + ST^2 - BT^2}}{{2 \cdot BS \cdot ST}}
\]

Заменяя известные значения и обозначая угол BST как α, получаем:
\[
\cos(\alpha) = \frac{{(3,7)^2 + (3,6)^2 - (5,4)^2}}{{2 \cdot 3,7 \cdot 3,6}}
\]

Вычислив эту формулу, найдём значение косинуса угла α. Теперь мы можем найти сам угол α, применив обратную функцию косинуса (арккосинус) к найденному значению косинуса:
\[
\alpha = \arccos\left(\frac{{(3,7)^2 + (3,6)^2 - (5,4)^2}}{{2 \cdot 3,7 \cdot 3,6}}\right)
\]

После нахождения значения угла α, мы можем найти значение угла TBS, которое равно 180° минус угол α.

Таким образом, угол TBS = 180° - α.

Далее воспользуемся теоремой косинусов для треугольника TBS:
\[
\cos(\angle TBS) = \frac{{TB^2 + BS^2 - TS^2}}{{2 \cdot TB \cdot BS}}
\]

Заменяя известные значения и обозначая угол TBS как β, получаем:
\[
\cos(\beta) = \frac{{(5,4)^2 + (3,7)^2 - x^2}}{{2 \cdot 5,4 \cdot 3,7}}
\]

Теперь мы можем найти значение угла β, применив обратную функцию косинуса (арккосинус) к найденному значению косинуса:
\[
\beta = \arccos\left(\frac{{(5,4)^2 + (3,7)^2 - x^2}}{{2 \cdot 5,4 \cdot 3,7}}\right)
\]

Наконец, мы можем найти значение стороны BG, используя теорему косинусов в треугольнике BGT:
\[
\cos(\angle BGT) = \frac{{TB^2 + TG^2 - BG^2}}{{2 \cdot TB \cdot TG}}
\]

Подставляя известные значения и обозначая угол BGT как γ, получаем:
\[
\cos(\gamma) = \frac{{(5,4)^2 + (7,77)^2 - x^2}}{{2 \cdot 5,4 \cdot 7,77}}
\]

И снова применяем обратную функцию косинуса (арккосинус) к найденному значению косинуса, чтобы найти угол γ:
\[
\gamma = \arccos\left(\frac{{(5,4)^2 + (7,77)^2 - x^2}}{{2 \cdot 5,4 \cdot 7,77}}\right)
\]

Теперь мы имеем значения углов α, β и γ. Мы можем использовать сумму углов в четырехугольнике (180°) и значение угла TBS (180° - α) для нахождения значения угла TBG:
\[
\angle TBG = 180° - \alpha
\]

Далее, имея значения углов TBG и BGT, мы можем использовать сумму углов в треугольнике (180°) и значение угла γ для нахождения значения угла BGT:
\[
\angle BGT = 180° - \gamma
\]

Имея значения углов TBG и BGT, мы можем использовать сумму углов в треугольнике (180°) и значение угла β для нахождения значения угла TGB:
\[
\angle TGB = 180° - \beta
\]

Таким образом, мы нашли все углы TGB, TBG и BGT в четырехугольнике BSTG, используя данные из задачи.

Примечание: Для вычислений используйте соответствующие значения длин сторон и углов в исходных единицах измерения (см, м, градусы и т. д.). Вычисления могут быть длинными и требовать использования калькулятора или математического ПО для точных результатов.