Какова длина стороны АВ в параллелограмме, если АС = 4√2 см, ∠СDА = 105° и ∠ВАС

Question

Геометрия: Какова длина стороны АВ в параллелограмме, если АС = 4√2 см, ∠СDА = 105° и ∠ВАС = 45°?

Печенье · Accepted Answer

У нас есть параллелограмм ABCD, где сторона AC равна 4√2 см, ∠CDA равен 105°, и ∠BAC равен 45°. Мы хотим найти длину стороны AB.

Давайте рассмотрим треугольник ABC внутри параллелограмма. Мы знаем, что угол BAC равен 45°, так как он соответствует ∠ВАС в параллелограмме. Кроме того, угол ABC является смежным с ∠ВАС, поэтому он также равен 45°.

Теперь мы можем использовать информацию о треугольнике ABC, чтобы найти длину стороны AB. Для этого мы можем воспользоваться теоремой косинусов.

Вспомним формулу теоремы косинусов:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

Где a, b и c - это длины сторон треугольника, а C - это угол, противолежащий стороне c.

В нашем случае, a = AC = 4√2 см, b = BC (что равно стороне AB, так как параллелограммы имеют противоположные стороны равной длины), и C = ∠ABC = ∠BAC = 45°.

Подставим значения в формулу:
\[(AB)^2 = (4√2)^2 + (4√2)^2 - 2 \cdot (4√2) \cdot (4√2) \cdot \cos(45°)\]

Выполним вычисления:

\[(AB)^2 = 32 + 32 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(45°)\]
\[(AB)^2 = 64 - 32 \cdot \cos(45°)\]
\[(AB)^2 = 64 - 32 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[(AB)^2 = 64 - 16 \cdot \sqrt{2}\]
\[(AB)^2 = 64 - 16\sqrt{2}\]

Осталось вычислить значение AB:
\[AB = \sqrt{64 - 16\sqrt{2}}\]

Таким образом, длина стороны AB в параллелограмме равна \(\sqrt{64 - 16\sqrt{2}}\) см.

Какова длина стороны АВ в параллелограмме, если АС = 4√2 см, ∠СDА = 105° и ∠ВАС = 45°?

Печенье

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!