Какова длина стороны АВ треугольника АВС, если в него вписана окружность, которая касается его сторон в точках М

Для решения данной задачи предлагаю использовать свойство вписанного угла и теорему о касательной, проведенной к окружности из точки касания.

По свойству вписанного угла, угол BAM равен половине пересекающего дугу AM. Также, по теореме о касательной, угол MBK равен половине пересекающего дугу MK.

Таким образом, получаем, что угол BAM равен углу MBK. Обозначим этот угол как α.

Треугольник ABC - равнобедренный, так как две его стороны AB и AC равны между собой - это радиусы окружности, вписанной в треугольник.

Рассмотрим треугольник ABM. Так как угол BAM равен углу MBA, получаем, что треугольник ABM - равнобедренный. Значит, сторона AB равна стороне AM.

Аналогично, рассмотрим треугольник BCK. Сторона BC равна стороне KC.

Теперь вспомним, что у нас есть касательная к окружности из точки касания. Поэтому угол AMK равен 90 градусам.

Таким образом, угол MAK равен 90-α градусам, и угол MBK равен α градусам.

Теперь применим теорему синусов к треугольнику AMB:

\[\sin(90 - \alpha) = \frac{AB}{AM}\]

Поскольку синус комплиментарного угла равен косинусу самого угла, упростим формулу:

\[\cos(\alpha) = \frac{AB}{AM}\]

Аналогично, применим теорему синусов к треугольнику BKC:

\[\sin(\alpha) = \frac{BC}{KC}\]

А так как сторона AB равна стороне AM, а сторона BC равна стороне KC, заменим стороны в формулах:

\[\cos(\alpha) = \frac{AB}{AB} = 1\]
\[\sin(\alpha) = \frac{AB}{BC}\]

Из первого уравнения следует, что \(\alpha = 0\), так как косинус нуля равен единице.

Заметим, что угол МКВ равен \(180 - 2\alpha\) градусам. Так как его половина угол МВА, получаем:

\[\frac{180 - 2\alpha}{2} = \alpha\]
\[180 - 2\alpha = 2\alpha\]
\[4\alpha = 180\]
\[\alpha = 45\]

Таким образом, угол МВК равен 45 градусам. То есть, треугольник BCK является прямоугольным.

Применим теорему Пифагора к треугольнику BCK:

\[BC^2 = CK^2 + BK^2\]

Так как треугольник BCK прямоугольный и угол МКВ равен 45 градусам, получаем:

\[BC^2 = KG^2 + BK^2\]
\[AB^2 = BC^2 + CK^2 \]

Теперь подставим значения сторон:

\[AB^2 = BC^2 + CK^2 = (AB)^2 + (AB)^2\]
\[AB^2 = 2 \cdot (AB)^2\]
\[AB = \sqrt{2} \cdot BC\]

Таким образом, длина стороны AB треугольника ABC, в который вписана окружность, равна корню квадратному из 2, умноженному на длину стороны BC.

Выполнив все расчеты, мы получили ответ на данную задачу: длина стороны AB равна \(\sqrt{2}\) умножить на длину стороны BC.