Какова длина радиуса звезды Арктур, при условии, что ее светимость составляет 113 светимостей Солнца и температура

Чтобы найти длину радиуса звезды Арктур, мы можем воспользоваться формулой Стефана-Больцмана, которая связывает светимость звезды, ее радиус и температуру фотосферы. Формула имеет вид:

\[L = 4\pi R^{2}\sigma T^{4}\]

где \(L\) - светимость звезды, \(R\) - радиус звезды, \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана (\(\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} \, \text{Вт/м}^{2} \cdot \text{К}^{4}\)), \(T\) - температура фотосферы звезды.

Для решения задачи, нам дано значение светимости звезды Арктур (\(L = 113\)) в сравнении со светимостью Солнца, а также температура фотосферы звезды Арктур (\(T = 4300 \, \text{K}\)) и температура фотосферы Солнца (\(T_{\text{Солнца}} = 6000 \, \text{K}\)).

Сначала мы найдем отношение светимости звезды Арктур к светимости Солнца:

\[\frac{L}{L_{\text{Солнца}}} = \frac{4\pi R^{2}\sigma T^{4}}{4\pi R_{\text{Солнца}}^{2}\sigma T_{\text{Солнца}}^{4}}\]

Поскольку дано, что \(\frac{L}{L_{\text{Солнца}}} = 113\), а \(T_{\text{Солнца}} = 6000 \, \text{K}\), мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[113 = \frac{R^{2}T^{4}}{R_{\text{Солнца}}^{2}6000^{4}}\]

Для дальнейших вычислений нам нужно знать радиус Солнца. Диаметр Солнца составляет примерно 1,391 миллиона километров, следовательно радиус Солнца будет:

\[R_{\text{Солнца}} = \frac{1.391 \times 10^{6}}{2} = 6.955 \times 10^{5} \, \text{км}\]

Теперь мы можем продолжить решение и выразить радиус звезды Арктур:

\[113 = \frac{R^{2} \times 4300^{4}}{(6.955 \times 10^{5})^{2} \times 6000^{4}}\]

Для нахождения \(R\) мы умножим обе стороны уравнения на знаменатель, а затем извлечем корень из получившегося значения:

\[R = \sqrt{\frac{113 \times (6.955 \times 10^{5})^{2} \times 6000^{4}}{4300^{4}}}\]

Подставив значения в эту формулу и произведя вычисления, мы получим окончательный ответ для радиуса звезды Арктур.