Какова длина отрезка fh в прямоугольнике defh, вписанном в треугольник abc с углом 120° при вершине a, и длина отрезка

Для ответа на первый вопрос нам необходимо разобраться в отношениях между сторонами треугольника abc и прямоугольника defh. Для начала, давайте построим схему для наглядности.

a_______b
|\ |\
| \ | \
| \ | \
f|___\___h|___\
| \ | /
| \ | /
| \ |/
d-------e c

Из условия задачи, мы знаем, что угол abc равен 120°, а длина отрезка ab равна 4.

Для определения длины отрезка fh в прямоугольнике defh, нам необходимо найти соотношение между этим отрезком и стороной треугольника abc.

Так как прямоугольник defh вписан в треугольник abc, то сторона ab будет являться диаметром окружности, вписанной в треугольник abc. Вспомним, что для треугольника радиус окружности вписанной в треугольник равен половине радиуса описанного около него.

Так как ab является диаметром вписанной окружности, то радиус равен половине длины ab. Получаем, что радиус окружности равен 2.

Теперь обратим внимание на прямоугольник defh. Диагональ прямоугольника является диаметром вписанной окружности треугольника abc.

Так как длина отрезка dh равна половине длины отрезка fh, а длина отрезка ab равна 4 (что является диагональю вписанной окружности), можно сделать вывод о пропорциональности длины отрезка ab и длины отрезка dh.

Таким образом, отношение длины отрезка dh к длине отрезка fh равно отношению 2 к 4, то есть 1/2.

Следовательно, длина отрезка fh можно найти, умножив длину отрезка dh на 2. И получим:

\[fh = dh \times 2 = 2 \times 2 = 4\]

Итак, длина отрезка fh равна 4.

Теперь перейдем ко второму вопросу и найдем площадь прямоугольника defh.

Площадь прямоугольника может быть найдена по формуле:

\[S = \text{длина} \times \text{ширина}\]

У нас уже есть одна сторона - длина отрезка fh, равная 4.

Нам осталось найти ширину прямоугольника. Заметим, что длина отрезка dh равна половине длины отрезка fh, то есть 2.

Таким образом, ширина прямоугольника равна 2.

Теперь мы можем легко вычислить площадь прямоугольника, подставив значения в формулу:

\[S = 4 \times 2 = 8\]

Итак, площадь прямоугольника defh равна 8.