Какова длина основания трапеции ABCD на рисунке 283, если AK — биссектриса угла BAD, AB = 12 см, BC = 8 см, и отношение

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать свойства биссектрисы и отношения сторон трапеции.

1. Начнем с построения биссектрисы угла BAD (отрезка AK). На рисунке 283 мы видим, что это отрезок, который делит угол BAD пополам и проходит через точку K.

2. Затем рассмотрим отношение CK к KD. В условии задачи сказано, что это отношение равно 1. Это означает, что длина отрезка CK равна длине отрезка KD.

3. Обозначим длину отрезка CK как x. Тогда длина отрезка KD также равна x.

4. Вспомним свойство биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противоположную сторону (т.е. сторону AD) на отрезки, пропорциональные смежным сторонам (т.е. сторонам AB и BC).

5. С использованием этого свойства и отношения сторон трапеции, мы можем записать следующее уравнение пропорциональности:

\(\frac{{AK}}{{KD}} = \frac{{AB}}{{BC}}\)

Подставляя известные значения, получим:

\(\frac{{AK}}{{x}} = \frac{{12}}{{8}}\)

Упрощая данное уравнение, получим:

\(\frac{{AK}}{{x}} = \frac{{3}}{{2}}\)

6. Теперь у нас есть уравнение, которое содержит только одну неизвестную величину - AK. Решим это уравнение:

\(\frac{{AK}}{{x}} = \frac{{3}}{{2}}\)

Умножим обе части уравнения на x:

\(AK = \frac{{3}}{{2}} \cdot x\)

Заменив x на CK или KD (так как они равны по условию), получим:

\(AK = \frac{{3}}{{2}} \cdot CK\) или \(AK = \frac{{3}}{{2}} \cdot KD\)

7. Теперь нам нужно выразить длину основания трапеции ABCD через AK. Так как AK - биссектриса угла BAD, она делит основание AD пополам.

Поэтому длина основания трапеции равна:

\(AB + BC = AK + KD\)

Подставляя значения, получим:

\(12 + 8 = AK + KD\)

\(\Rightarrow 20 = AK + x\)

8. Теперь мы можем сопоставить уравнение из пункта 7 с уравнением из пункта 6 и решить систему уравнений:

\(\begin{cases} \frac{{3}}{{2}} \cdot x = AK \\ 20 = AK + x \end{cases}\)

Решая эту систему уравнений, получим:

\(\begin{cases} AK = 12 \\ x = 8 \end{cases}\)

9. Таким образом, мы получаем, что длина основания трапеции ABCD равна \(AK + KD = 12 + 8 = 20\) см.

Ответ: Длина основания трапеции ABCD равна 20 см.