Какова длина основания равнобедренного треугольника с вершинами А(2,3,1), В(1,3,3), С(2,4,3)?

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о равнобедренных треугольниках и формуле расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны. Длины сторон можно найти, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Формула расстояния между точками P(x1, y1, z1) и Q(x2, y2, z2) в трехмерном пространстве выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2}\]

Теперь применим эту формулу для нахождения длин сторон треугольника.

Для нахождения длины стороны АВ, мы будем использовать точки A(2,3,1) и B(1,3,3). Подставляем значения координат в формулу:

\[d_{AB} = \sqrt{(1 - 2)^2 + (3 - 3)^2 + (3 - 1)^2}\]

\[d_{AB} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 2^2}\]

\[d_{AB} = \sqrt{1 + 0 + 4}\]

\[d_{AB} = \sqrt{5}\]

Таким образом, длина стороны AB равна \(\sqrt{5}\).

Для нахождения длины стороны AC, мы будем использовать точки A(2,3,1) и C(2,4,3):

\[d_{AC} = \sqrt{(2 - 2)^2 + (4 - 3)^2 + (3 - 1)^2}\]

\[d_{AC} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2}\]

\[d_{AC} = \sqrt{1 + 1 + 4}\]

\[d_{AC} = \sqrt{6}\]

Таким образом, длина стороны AC равна \(\sqrt{6}\).

Теперь, чтобы найти длину основания треугольника, мы должны найти равнобедренную сторону, которая является отрезком BC. Мы уже знаем длину сторон AB и AC, и они не равны друг другу.

Сложим длины сторон AB и AC и разделим результат на 2, чтобы найти длину равнобедренной стороны:

\[d_{BC} = \frac{d_{AB} + d_{AC}}{2}\]

\[d_{BC} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{6}}{2}\]

Таким образом, длина основания равнобедренного треугольника равна \(\frac{\sqrt{5} + \sqrt{6}}{2}\).