Какова длина образующей усеченного конуса с радиусами оснований 4 и 10, если площадь осевого сечения равна 112?

Рассмотрим усеченный конус с основаниями радиусами \(r_1 = 4\) и \(r_2 = 10\). Нам известно, что площадь осевого сечения равна 112.

Для начала, найдем площади оснований \(S_1\) и \(S_2\). Площадь основания конуса вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус основания. Таким образом, площади оснований данного конуса равны:

\[S_1 = \pi \cdot (4^2) = 16\pi\]

\[S_2 = \pi \cdot (10^2) = 100\pi\]

Далее, найдем среднюю площадь основания \(S_m\), которая вычисляется по формуле:

\[S_m = \sqrt{S_1 \cdot S_2}\]

\[S_m = \sqrt{16\pi \cdot 100\pi} = \sqrt{1600\pi^2} = 40\pi\]

Теперь, с помощью формулы площади осевого сечения \(S_c = \pi r_c^2\), где \(r_c\) - радиус осевого сечения, найдем радиус осевого сечения:

\[112 = \pi r_c^2\]

\[r_c^2 = \frac{112}{\pi}\]

\[r_c = \sqrt{\frac{112}{\pi}}\]

Таким образом, получили, что радиус осевого сечения равен \(\sqrt{\frac{112}{\pi}}\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом осевого сечения, образующей \(l\) и половиной разности радиусов оснований \(\Delta r = \frac{r_2 - r_1}{2}\). Для этого треугольника выполняется теорема Пифагора:

\[l^2 = r_c^2 - \Delta r^2\]

\[l^2 = \left(\sqrt{\frac{112}{\pi}}\right)^2 - \left(\frac{10 - 4}{2}\right)^2\]

\[l^2 = \frac{112}{\pi} - 3^2\]

\[l^2 = \frac{112}{\pi} - 9\]

Таким образом, длина образующей \(l\) усеченного конуса равна \(\sqrt{\frac{112}{\pi} - 9}\).

Ответ: Длина образующей усеченного конуса с радиусами оснований 4 и 10, если площадь осевого сечения равна 112, равна \(\sqrt{\frac{112}{\pi} - 9}\).