Какова длина меньшего катета прямоугольного треугольника, если его площадь составляет 200, а тангенс одного из углов

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться формулой площади прямоугольного треугольника и свойствами тангенса угла.

Пусть a будет длиной меньшего катета, а b - длиной большего катета. Тогда площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов, т.е.

\[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 200. \]

Далее, мы знаем, что тангенс угла задаётся формулой

\[ \tan(\alpha) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}}. \]

В нашем случае, тангенс одного из углов равен 0,25, что означает, что синус этого угла равен \(\frac{1}{4}\). Отсюда, мы можем записать следующее:

\[ \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}} = \frac{1}{4}. \]

Мы знаем, что синус угла также можно выразить через длины катетов:

\[ \sin(\alpha) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \]

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрической теоремой Пифагора, чтобы записать формулу для гипотенузы:

\[ a^2 + b^2 = (\text{{гипотенуза}})^2. \]

Теперь у нас есть две формулы, которые связывают длины катетов и гипотенузу треугольника. Мы можем воспользоваться системой уравнений, чтобы решить эту задачу.

Подставим наше значение для синуса угла:

\[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{1}{4}. \]

Кроме того, подставим значение для площади:

\[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 200. \]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.