Какова длина меньшего катета и гипотенузы прямоугольного треугольника, если один из углов равен 60°, а больший катет

Давайте начнем с определения прямоугольного треугольника: это треугольник, у которого один из углов равен 90°. В данной задаче мы знаем, что один из углов треугольника равен 60°. Зная, что сумма всех углов треугольника равна 180°, мы можем найти второй угол как разность 180° и суммы двух известных углов:

\[
\text{Второй угол} = 180° - 90° - 60° = 30°
\]

Теперь, чтобы найти длину меньшего катета и гипотенузы треугольника, нам потребуется применить тригонометрические соотношения. В данном случае, нам пригодятся соотношения для прямоугольного треугольника при угле 30°.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике отношение длины катета к длине гипотенузы в случае угла 30° равно:

\[
\frac{{\text{длина меньшего катета}}}{{\text{длина гипотенузы}}} = \frac{1}{{\sqrt{3}}}
\]

Мы также знаем, что длина большого катета равна некоторому числу. Давайте обозначим его за \(a\).

Теперь, используя пропорцию, мы можем записать:

\[
\frac{a}{\text{длина гипотенузы}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Для того, чтобы найти значения меньшего катета и гипотенузы, мы должны решить эту пропорцию. Найдем длину гипотенузы:

\[
\text{длина гипотенузы} = \frac{a}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = a \cdot \sqrt{3}
\]

Таким образом, длина гипотенузы треугольника равна \(a \cdot \sqrt{3}\).

Подставим эту длину обратно в пропорцию, чтобы найти длину меньшего катета:

\[
\frac{a}{a \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Сократим общий множитель \(a\):

\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Таким образом, мы получаем, что длина меньшего катета также равна \(a \cdot \sqrt{3}\).

Итак, в ответ на задачу, длина меньшего катета и гипотенузы прямоугольного треугольника равны \(a \cdot \sqrt{3}\).