Какова длина хорды, которая является частью окружности x2 + y2 = 1 и лежит на прямой 4y + 3x – 4

Хорда, соединяющая две точки на окружности, является отрезком прямой линии. Для решения данной задачи нам необходимо найти точки пересечения окружности \(x^2 + y^2 = 1\) с прямой \(4y + 3x - 4 = 0\).

Для начала, давайте найдем точки пересечения. Для этого подставим выражение \(4y + 3x - 4\) вместо \(y\) в уравнении окружности:

\[
x^2 + (4y + 3x - 4)^2 = 1
\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[
x^2 + 16y^2 + 9x^2 + 16xy - 32y + 24x - 32 = 1
\]

Сгруппируем переменные и получим квадратное уравнение:

\[
10x^2 + 16xy - 32y + 24x - 33 = 0
\]

Далее, мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения точек пересечения. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 10\), \(b = 16\), \(c = -32\).

\[
D = (16)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-32) = 256 + 1280 = 1536
\]

Так как дискриминант положительный, то это означает, что прямая и окружность имеют две точки пересечения.

Теперь воспользуемся формулами для нахождения координат точек пересечения. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) будут корнями квадратного уравнения \(10x^2 + 16xy - 32y + 24x - 33 = 0\). Тогда координаты точек пересечения будут \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\).

Используя формулу для \(x_i\):

\[x_i = \frac{-2c + (2a - b) \cdot sgn(b)}{2(a^2 - ab)}\]

и формулу для \(y_i\):

\[y_i = \frac{-c - ax_i}{b}\]

Подставим соответствующие значения и найдем координаты пересечений:

\[
x_1 = \frac{-2(-32) + (2 \cdot 10 - 16) \cdot sgn(16)}{2(10^2 - 10 \cdot 16)} = \frac{64 + 18}{20} = \frac{82}{20} = \frac{41}{10}
\]

\[
y_1 = \frac{-(-32) - 10 \cdot x_1}{16} = \frac{32 - \frac{410}{10}}{16} = \frac{320 - 410}{16} = \frac{-90}{16} = -\frac{45}{8}
\]

\[
x_2 = \frac{-2(-32) + (2 \cdot 10 - 16) \cdot sgn(-16)}{2(10^2 - 10 \cdot 16)} = \frac{64 + 42}{20} = \frac{106}{20} = \frac{53}{10}
\]

\[
y_2 = \frac{-(-32) - 10 \cdot x_2}{16} = \frac{32 - \frac{530}{10}}{16} = \frac{320 - 530}{16} = \frac{-210}{16} = -\frac{105}{8}
\]

Итак, мы нашли две точки пересечения прямой и окружности: \(\left(\frac{41}{10}, -\frac{45}{8}\right)\) и \(\left(\frac{53}{10}, -\frac{105}{8}\right)\).

Теперь, чтобы найти длину хорды, нам нужно использовать формулу расстояния между двуми точками, данная формула имеет вид:

\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}
\]

Подставим значения точек пересечения:

\[
d = \sqrt{{\left(\frac{53}{10} - \frac{41}{10}\right)^2 + \left(-\frac{105}{8} - (-\frac{45}{8})\right)^2}}
\]

Приведем выражение к общему знаменателю:

\[
d = \sqrt{{\left(\frac{12}{10}\right)^2 + \left(-\frac{60}{8}\right)^2}} = \sqrt{{\frac{144}{100} + \frac{3600}{64}}} = \sqrt{{\frac{144}{100} + \frac{5625}{100}}} = \sqrt{{\frac{5769}{100}}}
\]

Теперь извлечем корень:

\[
d = \frac{\sqrt{{5769}}}{\sqrt{{100}}} = \frac{76}{10} = 7,6
\]

Таким образом, длина хорды, являющейся частью окружности \(x^2 + y^2 = 1\) и лежащей на прямой \(4y + 3x - 4 = 0\), равна 7,6.