Какова длина хорды, которая является частью окружности x2 + y2 = 1 и лежит на прямой 4y + 3x – 4

Хорда, соединяющая две точки на окружности, является отрезком прямой линии. Для решения данной задачи нам необходимо найти точки пересечения окружности $x^2+y^2=1$ с прямой $4y+3x-4=0$.

Для начала, давайте найдем точки пересечения. Для этого подставим выражение $4y+3x-4$ вместо $y$ в уравнении окружности:

$$x^2+(4y+3x-4{)}^2=1$$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$$x^2+16y^2+9x^2+16xy-32y+24x-32=1$$

Сгруппируем переменные и получим квадратное уравнение:

$$10x^2+16xy-32y+24x-33=0$$

Далее, мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения точек пересечения. Дискриминант вычисляется по формуле $D=b^2-4ac$, где $a=10$, $b=16$, $c=-32$.

$$D=(16{)}^2-4\cdot 10\cdot (-32)=256+1280=1536$$

Так как дискриминант положительный, то это означает, что прямая и окружность имеют две точки пересечения.

Теперь воспользуемся формулами для нахождения координат точек пересечения. Пусть $x_1$ и $x_2$ будут корнями квадратного уравнения $10x^2+16xy-32y+24x-33=0$. Тогда координаты точек пересечения будут $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$.

Используя формулу для $x_i$:

$$x_i=\frac{-2c+(2a-b)\cdot sgn(b)}{2(a^2-ab)}$$

и формулу для $y_i$:

$$y_i=\frac{-c-a{x}_i}{b}$$

Подставим соответствующие значения и найдем координаты пересечений:

$$x_1=\frac{-2(-32)+(2\cdot 10-16)\cdot sgn(16)}{2({10}^2-10\cdot 16)}=\frac{64+18}{20}=\frac{82}{20}=\frac{41}{10}$$

$$y_1=\frac{-(-32)-10\cdot x_1}{16}=\frac{32-\frac{410}{10}}{16}=\frac{320-410}{16}=\frac{-90}{16}=-\frac{45}{8}$$

$$x_2=\frac{-2(-32)+(2\cdot 10-16)\cdot sgn(-16)}{2({10}^2-10\cdot 16)}=\frac{64+42}{20}=\frac{106}{20}=\frac{53}{10}$$

$$y_2=\frac{-(-32)-10\cdot x_2}{16}=\frac{32-\frac{530}{10}}{16}=\frac{320-530}{16}=\frac{-210}{16}=-\frac{105}{8}$$

Итак, мы нашли две точки пересечения прямой и окружности: $(\frac{41}{10},-\frac{45}{8})$ и $(\frac{53}{10},-\frac{105}{8})$.

Теперь, чтобы найти длину хорды, нам нужно использовать формулу расстояния между двуми точками, данная формула имеет вид:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

Подставим значения точек пересечения:

$$d=\sqrt{{(\frac{53}{10}-\frac{41}{10})}^2+{(-\frac{105}{8}-(-\frac{45}{8}))}^2}$$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$$d=\sqrt{{\left(\frac{12}{10}\right)}^2+{(-\frac{60}{8})}^2}=\sqrt{\frac{144}{100}+\frac{3600}{64}}=\sqrt{\frac{144}{100}+\frac{5625}{100}}=\sqrt{\frac{5769}{100}}$$

Теперь извлечем корень:

$$d=\frac{\sqrt{5769}}{\sqrt{100}}=\frac{76}{10}=7,6$$

Таким образом, длина хорды, являющейся частью окружности $x^2+y^2=1$ и лежащей на прямой $4y+3x-4=0$, равна 7,6.