Какова длина гипотенузы треугольника, подобного данному прямоугольному треугольнику, если его катеты имеют длины 5

Чтобы определить длину гипотенузы треугольника, нам понадобится использовать связь между длинами сторон и площадью прямоугольного треугольника.

Пусть \( a \) и \( b \) - катеты прямоугольного треугольника, а \( c \) - гипотенуза. Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов:

\[ S = \frac{1}{2}ab \]

Также мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая утверждает, что для прямоугольного треугольника с катетами \( a \) и \( b \) и гипотенузой \( c \) выполняется:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

У нас известны длины катетов \( a = 5 \) см и \( b = 12 \) см, а площадь равна 270 квадратным сантиметрам. Давайте найдем длину гипотенузы \( c \).

Сначала найдем площадь. Подставив значения катетов \( a \) и \( b \) в формулу, получим:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \]

Теперь у нас есть значение площади \( S \), которое равно 270. Мы можем записать это в уравнение:

\[ 30 = \frac{1}{2}ab \]

Решим это уравнение относительно одного из катетов. Умножим обе стороны на 2:

\[ 60 = ab \]

Теперь у нас есть уравнение с площадью и размерами катетов треугольника. Поскольку гипотенуза \( c \) неизвестна, заменим \( c^2 \) в уравнении Пифагора на \( a^2 + b^2 \):

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
\[ c^2 = 5^2 + 12^2 \]
\[ c^2 = 25 + 144 \]
\[ c^2 = 169 \]

Чтобы найти \( c \), возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[ c = \sqrt{169} \]
\[ c = 13 \]

Ответ: Длина гипотенузы треугольника равна 13 см.