Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если его площадь равна 32√3 и один из острых углов составляет

Конечно! Давайте решим данную задачу пошагово.

1. Первым шагом давайте представим наш прямоугольный треугольник. Острый угол в 30 градусов находится противоположно гипотенузе, которую мы хотим найти. Пусть это будет сторона \(c\).

2. Зная площадь треугольника, мы можем использовать формулу для нахождения площади: площадь треугольника равна половине произведения длин его катетов. Таким образом, у нас есть:

\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 32\sqrt{3},\]

где \(a\) и \(b\) - катеты нашего треугольника, а \(32\sqrt{3}\) - данная площадь.

3. Для того, чтобы продолжить решение, нам необходимо знать значения катетов \(a\) и \(b\) нашего треугольника. Однако, на данный момент у нас нет никакой дополнительной информации по этому поводу.

4. Следовательно, мы должны использовать дополнительное знание о треугольниках. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Поскольку один из углов составляет 30 градусов, а угол прямой, то оставшийся угол равен 180 градусов минус 90 градусов минус 30 градусов. Таким образом, оставшийся угол равен 60 градусам.

5. Используя данные угла и формулу синуса, мы можем найти отношение стороны \(a\) (противолежащей данному углу) к гипотенузе \(c\):

\[\sin{(60^\circ)} = \frac{a}{c}.\]

6. Поскольку \(\sin{(60^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем переписать уравнение:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{c},\]

или

\[ a = \frac{c \cdot \sqrt{3}}{2}.\]

7. Теперь мы можем вернуться к уравнению для площади:

\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 32\sqrt{3}.\]

Подставляем выражение для \(a\):

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{c \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot b = 32\sqrt{3}.\]

8. Далее, упростим уравнение, умножив оба его выражения на 2:

\[\frac{c \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot b = 64\sqrt{3}.\]

9. Теперь, деля оба выражения на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), мы получим:

\[c \cdot b = \frac{64\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}.\]

10. Упрощая, получаем:

\[c \cdot b = 64 \cdot 2 = 128.\]

11. Теперь осталось найти значение длины гипотенузы \(c\). Для этого мы можем подставить \(b = \frac{128}{c}\) в уравнение:

\[c \cdot \frac{128}{c} = 128.\]

12. Упрощая, получаем:

\[128 = 128.\]

Видим, что уравнение верно. Это означает, что длина гипотенузы \(c\) равна 128.


Надеюсь, данное подробное решение помогло вам понять, как найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника.