Какова длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, если длины диагоналей трех его граней равны

Чтобы найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, имея информацию о длине диагоналей трех его граней, нужно воспользоваться формулой, связывающей эти величины.

Предположим, что диагональ $d_1$ соединяет две противоположные вершины параллелепипеда, принадлежащие двум граням, имеющим длины $a$ и $b$. Диагонали $d_2$ и $d_3$ связывают другие две противоположные вершины и грани.

Теперь пошагово решим задачу:

Шаг 1: Рассмотрим грань с диагональю $d_1$. Эта диагональ будет гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами $a$, $b$ и $d_1$. По теореме Пифагора можно записать следующее уравнение:
$$d_1^2=a^2+b^2$$

Шаг 2: Теперь рассмотрим грань с диагональю $d_2$ и углом ${90}^{\circ }$ между $d_2$ и стороной $a$. Эта диагональ будет гипотенузой еще одного прямоугольного треугольника, со сторонами $a$, $d_2$ и длиной диагонали параллелепипеда $d$. Используя теорему Пифагора, можно записать следующее уравнение:
$$d^2=a^2+d_2^2$$

Шаг 3: Рассмотрим также грань с диагональю $d_3$ и углом ${90}^{\circ }$ между $d_3$ и стороной $b$. Эта диагональ также будет гипотенузой прямоугольного треугольника, со сторонами $b$, $d_3$ и длиной диагонали параллелепипеда $d$. Снова применяя теорему Пифагора, получим следующее уравнение:
$$d^2=b^2+d_3^2$$

Шаг 4: Из уравнений, полученных на шагах 2 и 3, можно выразить $d^2$. Сравнивая это выражение с уравнением на шаге 1, получим:
$$a^2+d_2^2=b^2+d_3^2=d_1^2=a^2+b^2$$

Шаг 5: Из уравнения на шаге 4 можно выразить одну из диагоналей через другие две:
$$d_1^2-a^2=b^2-d_3^2$$
или
$$d_1^2-b^2=a^2-d_2^2$$

Шаг 6: Взяв квадратный корень от обоих выражений на шаге 5, получаем:
$$d_1=\sqrt{a^2-d_3^2+b^2}=\sqrt{b^2-d_2^2+a^2}$$

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда равна $\sqrt{a^2-d_3^2+b^2}=\sqrt{b^2-d_2^2+a^2}$.

Надеюсь, ответ был понятен и подробен. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужна помощь в другой задаче, пожалуйста, пишите!