Какова длина диагоналей параллелограмма, если стороны равны 5 см и 10 см, а угол между ними составляет 120°?

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать свойство параллелограмма, что противоположные стороны параллелограмма равны по длине.

У нас дан параллелограмм со сторонами 5 см и 10 см, а также углом между ними равным 120°.

Поскольку диагонали параллелограмма разделяют его на четыре треугольника, мы можем воспользоваться теоремой косинусов для расчета длин диагоналей.

Для первой диагонали, обозначим ее как AC, мы будем использовать теорему косинусов для треугольника ABC:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)
\]

Подставляя известные значения, получим:

\[
AC^2 = 5^2 + 10^2 - 2 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \cos(120°)
\]

Решим это уравнение:

\[
AC^2 = 25 + 100 - 100 \cdot \cos(120°)
\]

\[
AC^2 = 25 + 100 - 100 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
\]

\[
AC^2 = 25 + 100 + 50
\]

\[
AC^2 = 175
\]

Извлекая квадратный корень, получаем:

\[
AC = \sqrt{175} \approx 13.23 \, \text{см}
\]

Теперь рассмотрим вторую диагональ BD. Для нее мы также можем использовать теорему косинусов, но в этом случае у нас будет треугольник ABD:

\[
BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle ABD)
\]

\[
BD^2 = 5^2 + 10^2 - 2 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \cos(120°)
\]

Решая это уравнение, получим:

\[
BD^2 = 25 + 100 - 100 \cdot \cos(120°)
\]

\[
BD^2 = 25 + 100 - 100 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
\]

\[
BD^2 = 25 + 100 + 50
\]

\[
BD^2 = 175
\]

Извлекая квадратный корень, получаем:

\[
BD = \sqrt{175} \approx 13.23 \, \text{см}
\]

Таким образом, длины диагоналей параллелограмма равны примерно 13.23 см.