Какова длина боковой стороны равнобедренного треугольника с углом при вершине, равным 45°, и площадью 20√2 см2?

Для решения данной задачи, нам следует использовать знания о свойствах равнобедренных треугольников и формулу площади треугольника. Давайте начнем с формулы площади треугольника.

Формула площади треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \times a \times h,\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - длина основания треугольника, \(h\) - высота треугольника.

Так как в задаче уже известна площадь треугольника (\(S = 20\sqrt{2} \, \text{см}^2\)), мы можем подставить эту величину в формулу площади треугольника и найти выражение для высоты треугольника.

\[20\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times a \times h\]

Чтобы найти высоту треугольника, нам нужно выразить ее величину через другие известные величины. Для этого нам понадобится знание о свойствах равнобедренных треугольников.

Свойство равнобедренных треугольников гласит, что высота, проведенная из вершины равнобедренного треугольника, делит его основание на две равные части.

То есть, если мы обозначим основание треугольника как \(b\), то мы можем сказать, что \(h = \frac{b}{2}\).

Теперь, если мы подставим \(h = \frac{b}{2}\) в наше уравнение для площади треугольника, мы получим:

\[20\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{b}{2}\]

Чтобы продолжить, нам необходимо получить выражение для длины основания треугольника (\(b\)). Для этого мы должны использовать информацию о угле при вершине равнобедренного треугольника.

В данной задаче угол при вершине равен 45°. Равнобедренный треугольник, в котором угол при вершине равен 45°, также называется прямоугольным треугольником. В прямоугольном треугольнике, стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами, а сторона, напротив прямого угла, называется гипотенузой.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с катетами длиной \(a\) и \(b\) и гипотенузой длиной \(c\), выполняется следующее равенство:
\[c^2 = a^2 + b^2\]

Так как в нашем треугольнике катеты равны между собой (равнобедренный треугольник), мы можем записать это равенство как:
\[c^2 = b^2 + b^2\]
\[c^2 = 2b^2\]
\[b^2 = \frac{c^2}{2}\]
\[b = \sqrt{\frac{c^2}{2}}\]

Но у нас уже есть угол при вершине треугольника, равный 45°. Мы можем использовать это знание для нахождения длины гипотенузы треугольника (\(c\)) через сторону основания (\(b\)).

В прямоугольном треугольнике с углом при вершине 45°, длина гипотенузы (\(c\)) равна \(\sqrt{2}\) раза длине катета (\(b\)).

\[c = \sqrt{2} \times b\]

Теперь мы можем подставить это выражение для длины гипотенузы (\(c\)) в наше уравнение для основания треугольника (\(b\)):

\[b = \sqrt{\frac{(\sqrt{2} \times b)^2}{2}}\]

Чтобы продолжить, нам понадобится решить это уравнение относительно \(b\). Для этого мы можем выполнять шаги решения постепенно.

\[b = \sqrt{\frac{(\sqrt{2} \times b)^2}{2}}\]
\[b = \sqrt{\frac{2 \times b^2}{2}}\]
\[b = \sqrt{b^2}\]
\[b = b\]

Таким образом, у нас получается, что \(b = b\), что говорит нам о том, что длина основания равнобедренного треугольника равна \(b\).

Итак, ответ на задачу - длина боковой стороны (основания) равнобедренного треугольника равна \(b\). У нас нет конкретных численных данных, чтобы найти точное значение для \(b\), однако мы можем выразить его в виде формулы:

\[b = \sqrt{\frac{(\sqrt{2} \times b)^2}{2}}\]

Так что, школьник может найти значение длины \(b\), решив данное уравнение.