Какова частота электромагнитных колебаний в колебательном контуре, если индуктивность его катушки составляет (25.4

Для расчета частоты электромагнитных колебаний в колебательном контуре, можно использовать формулу:

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

где \(f\) - частота, \(L\) - индуктивность катушки, а \(C\) - емкость конденсатора.

Для начала, нам необходимо перевести индуктивность катушки во величину СИ, т.е. МГн, а емкость конденсатора из пикофарад в фарады.

Индуктивность катушки составляет (25.4 ± 0.5) мГн. С учетом погрешности, индуктивность описывается следующим образом:

\[L = (25.4 \pm 0.5) \times 10^{-3} \, \text{Гн}\]

Для данного расчета нам понадобится значение индуктивности в Гн, поэтому воспользуемся приведением единиц:

\[L = (25.4 \pm 0.5) \times 10^{-3} \, \text{Гн} = (0.0254 \pm 0.0005) \, \text{Гн}\]

Теперь рассмотрим измеренные результаты емкости конденсатора:

4061, 4022, 4065, 4008, 4071, 4034, 4010 пикофарад (пФ).

Для расчета погрешности мы будем использовать формулу для среднего квадратического отклонения:

\[\Delta C = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(C_i - \bar C)^2}\]

где \(\Delta C\) - погрешность, \(N\) - количество измерений, \(C_i\) - каждое значение емкости, \(\bar C\) - среднее значение емкости.

Вычисляя среднее значение емкости \(\bar C\):

\[\bar C = \frac{C_1 + C_2 + \ldots + C_N}{N}\]

\[\bar C = \frac{4061 + 4022 + 4065 + 4008 + 4071 + 4034 + 4010}{7} = 4035.14 \, \text{пФ}\]

Теперь мы можем рассчитать погрешность \(\Delta C\):

\[\Delta C = \sqrt{\frac{1}{6}\left((4061-4035.14)^2 + (4022-4035.14)^2 + \ldots + (4010-4035.14)^2\right)}\]

\[\Delta C = \sqrt{\frac{1}{6}\left(6910.84 + 209.84 + \ldots + 628.84\right)} \approx 21.83 \, \text{пФ}\]

Теперь, когда у нас есть значения индуктивности и погрешности емкости, мы можем рассчитать погрешность для оценки относительной погрешности:

\[\Delta f = \left|\frac{\partial f}{\partial L}\right|\Delta L + \left|\frac{\partial f}{\partial C}\right|\Delta C\]

где \(\Delta f\) - погрешность, \(\Delta L\) - погрешность индуктивности, \(\Delta C\) - погрешность емкости.

Теперь давайте найдем значения частоты и погрешности для каждого измерения.

\[f_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(0.0254)^2(4061 \times 10^{-12})}} \approx 256.38 \, \text{кГц}\]
\[f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(0.0254)^2(4022 \times 10^{-12})}} \approx 257.91 \, \text{кГц}\]
\[f_3 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(0.0254)^2(4065 \times 10^{-12})}} \approx 256.13 \, \text{кГц}\]
\[f_4 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(0.0254)^2(4008 \times 10^{-12})}} \approx 259.07 \, \text{кГц}\]
\[f_5 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(0.0254)^2(4071 \times 10^{-12})}} \approx 255.72 \, \text{кГц}\]
\[f_6 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(0.0254)^2(4034 \times 10^{-12})}} \approx 258.40 \, \text{кГц}\]
\[f_7 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(0.0254)^2(4010 \times 10^{-12})}} \approx 259.59 \, \text{кГц}\]

Рассчитаем теперь погрешность для каждого значения:

\[\Delta f_1 = \left|\frac{\partial f}{\partial L}\right|\Delta L + \left|\frac{\partial f}{\partial C}\right|\Delta C \approx (0.0007465 \times 0.0005) + (18.87 \times 10^6 \times 0.00002183) \approx 0.0004 \, \text{кГц}\]
\[\Delta f_2 \approx 0.0004 \, \text{кГц}\]
\[\Delta f_3 \approx 0.0004 \, \text{кГц}\]
\[\Delta f_4 \approx 0.0004 \, \text{кГц}\]
\[\Delta f_5 \approx 0.0004 \, \text{кГц}\]
\[\Delta f_6 \approx 0.0004 \, \text{кГц}\]
\[\Delta f_7 \approx 0.0004 \, \text{кГц}\]

Таким образом, частота электромагнитных колебаний в колебательном контуре составляет:

\(f_1 = 256.38 \pm 0.0004 \, \text{кГц}\)

\(f_2 = 257.91 \pm 0.0004 \, \text{кГц}\)

\(f_3 = 256.13 \pm 0.0004 \, \text{кГц}\)

\(f_4 = 259.07 \pm 0.0004 \, \text{кГц}\)

\(f_5 = 255.72 \pm 0.0004 \, \text{кГц}\)

\(f_6 = 258.40 \pm 0.0004 \, \text{кГц}\)

\(f_7 = 259.59 \pm 0.0004 \, \text{кГц}\)

Также, рассчитаем относительную погрешность:

\[\frac{\Delta f}{f} = \frac{0.0004}{256.38} \approx 0.0000016\]

Таким образом, относительная погрешность составляет около 0.00016%