Какова будет прибыль (+) или убыток (-) фирмы в краткосрочном периоде, если она оптимизирует объем производства

Конечно, давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Дано:
Функция спроса на продукцию представлена уравнением \(P = 30 - 2q\), где \(P\) обозначает цену продукции, а \(q\) обозначает количество продукции.
Функция совокупных издержек представлена уравнением \(TC = 50\), где \(TC\) обозначает совокупные издержки фирмы.

Чтобы определить прибыль или убыток фирмы в краткосрочном периоде, нам необходимо учесть разницу между общими доходами и общими издержками.
Общий доход (Total Revenue, TR) можно рассчитать, умножив цену продукции (\(P\)) на количество продукции (\(q\)):
\[TR = P \cdot q\]

Общие издержки (Total Cost, TC) уже известны и равны 50.

Теперь вычислим прибыль (Profit):
\[Profit = TR - TC\]

Давайте приступим к решению.

1. Из данного условия мы уже знаем, что функция совокупных издержек равна 50. Подставим это значение в уравнение функции совокупных издержек:
\[50 = 50\]

2. Рассчитаем общий доход (Total Revenue, TR), подставив функцию спроса на продукцию в уравнение.
\[TR = (30 - 2q) \cdot q\]

3. Теперь найдем прибыль (Profit), вычтя общие издержки из общего дохода:
\[Profit = TR - TC\]

Давайте решим это уравнение.

\[TR = (30 - 2q) \cdot q\] # Умножим в скобках
\[TR = 30q - 2q^2\] # Распространим умножение

\[Profit = TR - TC\] # Подставим значения
\[Profit = (30q - 2q^2) - 50\] # Вычтем сумму издержек из дохода

Теперь, чтобы рассчитать прибыль или убыток, нам нужно найти квадратное уравнение \(Profit\), приравнять его к нулю и решить его, чтобы найти значения \(q\) (количество продукции), при которых прибыль будет равна нулю.

\[30q - 2q^2 - 50 = 0\] # Приравняем уравнение к нулю

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать различные методы, такие как Формула корней, Графический метод и т. д.

Вот один из способов решения:

1. Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить нулевой коэффициент:
\[2q^2 - 30q + 50 = 0\]

2. Данное уравнение не разлагается на линейные множители. Мы можем применить формулу дискриминанта, чтобы найти значения корней \(q\). Формула дискриминанта имеет вид:
\[D = b^2 - 4ac\]

3. Подставим значения из уравнения в формулу дискриминанта:
\[D = (-30)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 50\]
\[D = 900 - 400\]
\[D = 500\]

4. Вычислим корни квадратного уравнения с помощью формулы:
\[q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[q = \frac{-(-30) \pm \sqrt{500}}{2 \cdot 2}\]
\[q = \frac{30 \pm \sqrt{500}}{4}\]
\[q = \frac{30 \pm 10\sqrt{5}}{4}\]
\[q = \frac{15}{2} \pm \frac{5\sqrt{5}}{2}\]

Теперь мы получили два корня квадратного уравнения: \(\frac{15}{2} + \frac{5\sqrt{5}}{2}\) и \(\frac{15}{2} - \frac{5\sqrt{5}}{2}\).

Чтобы определить прибыль или убыток, проверим значения \(q\):

a) Подставим первый корень \(q = \frac{15}{2} + \frac{5\sqrt{5}}{2}\) в уравнение прибыли:
\[Profit = (30 \cdot (\frac{15}{2} + \frac{5\sqrt{5}}{2})) - 50\]
\[Profit = (\frac{450}{2} + \frac{150\sqrt{5}}{2}) - 50\]
\[Profit = \frac{450 + 150\sqrt{5} - 100}{2}\]
\[Profit = \frac{350 + 150\sqrt{5}}{2}\]
\[Profit \approx 175 + 75\sqrt{5}\]

b) Подставим второй корень \(q = \frac{15}{2} - \frac{5\sqrt{5}}{2}\) в уравнение прибыли:
\[Profit = (30 \cdot (\frac{15}{2} - \frac{5\sqrt{5}}{2})) - 50\]
\[Profit = (\frac{450}{2} - \frac{150\sqrt{5}}{2}) - 50\]
\[Profit = \frac{450 - 150\sqrt{5} - 100}{2}\]
\[Profit = \frac{350 - 150\sqrt{5}}{2}\]
\[Profit \approx 175 - 75\sqrt{5}\]

Итак, при оптимизации объема производства в условиях монополистической конкуренции, прибыль фирмы в краткосрочном периоде будет равна \(175 + 75\sqrt{5}\) или \(175 - 75\sqrt{5}\) в зависимости от выбранного корня \(q\). Если значение прибыли положительное, значит фирма получит прибыль, если отрицательное - фирма понесет убыток.