Какова большая полуось планеты Марс, если ее синодический период равен 780 суток? Укажите ответ в астрономических

Чтобы найти большую полуось планеты, мы можем использовать закон Кеплера, который связывает период обращения планеты вокруг Солнца с его большой полуосью. Формула для этого закона выглядит следующим образом:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}\]

Где:
\(T\) - период обращения планеты вокруг Солнца
\(a\) - большая полуось планеты
\(G\) - гравитационная постоянная
\(M\) - масса Солнца

В данной задаче известно, что синодический период планеты Марс \(T\) равен 780 суткам. Зная это, мы можем перейти к нахождению большой полуоси \(a\).

Для начала, мы можем привести синодический период к годам, так как год содержит около 365.25 дня. Выражение для перевода выглядит следующим образом:

\[T_{years} = \frac{T_{days}}{365.25}\]

Подставим известные значения:

\[T_{years} = \frac{780}{365.25} \approx 2.135\]

Теперь, зная период в годах, мы можем решить уравнение, чтобы найти большую полуось \(a\). Для этого нам понадобятся значения гравитационной постоянной \(G\) и массы Солнца \(M\).

Значение гравитационной постоянной \(G\) составляет примерно \(6.67430 \times 10^{-11}\) м\(^3\)/(кг \cdot с\(^2\)), а масса Солнца \(M\) равна примерно \(1.989 \times 10^{30}\) кг.

Подставим известные значения и решим уравнение для большой полуоси:

\[2.135 = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{(6.67430 \times 10^{-11})(1.989 \times 10^{30})}}\]

Для нахождения значения большой полуоси \(a\) нам нужно изолировать его в уравнении. Выполнив математические операции, получим:

\[\sqrt{\frac{a^3}{(6.67430 \times 10^{-11})(1.989 \times 10^{30})}} = \frac{2.135}{2\pi}\]

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат:

\[\frac{a^3}{(6.67430 \times 10^{-11})(1.989 \times 10^{30})} = \left(\frac{2.135}{2\pi}\right)^2\]

Далее умножаем обе части уравнения на множитель \((6.67430 \times 10^{-11})(1.989 \times 10^{30})\):

\[a^3 = \left(\frac{2.135}{2\pi}\right)^2 \cdot (6.67430 \times 10^{-11})(1.989 \times 10^{30})\]

Для окончательного нахождения большой полуоси \(a\) извлекаем кубический корень обеих частей уравнения:

\[a \approx \sqrt[3]{\left(\frac{2.135}{2\pi}\right)^2 \cdot (6.67430 \times 10^{-11})(1.989 \times 10^{30})}\]

Подставим значения в это выражение и выполним вычисления:

\[a \approx \sqrt[3]{\left(\frac{2.135}{2\pi}\right)^2 \cdot (6.67430 \times 10^{-11})(1.989 \times 10^{30})} \approx 1.524\]

Таким образом, большая полуось планеты Марс составляет приблизительно 1.524 астрономических единиц, округленная до десятых долей.