Каков вращающий момент, число оборотов и кинетическая энергия через время t= 5 с после начала вращения медного диска

Чтобы решить эту задачу, мы должны найти вращающий момент, число оборотов и кинетическую энергию медного диска через время \(t = 5\) секунд.

1. Вращающий момент (\(M\)) определяется как произведение момента инерции (\(I\)) и угловой скорости (\(\omega\)). Формула расчета вращающего момента выглядит следующим образом:

\[ M = I \cdot \omega \]

2. Момент инерции (\(I\)) зависит от массы и геометрических параметров диска. Если мы предполагаем, что плотность меди постоянная, то момент инерции для диска можно выразить следующим образом:

\[ I = \frac{1}{2} m R^2 \]

где \( m \) - масса диска, \( R \) - его радиус.

3. Угловая скорость (\(\omega\)) определяется производной от угла поворота по времени, то есть:

\[ \omega = \frac{d\phi}{dt} \]

где \( \phi \) - угол поворота радиуса.

4. Количество оборотов (\(N\)) можно выразить через угол поворота радиуса (\( \phi \)). Поскольку у нас задан закон изменения угла поворота, мы можем найти количество оборотов следующим образом:

\[ N = \frac{\phi}{2\pi} \]

5. Кинетическая энергия (\( K \)) вращающегося диска выражается через момент инерции и угловую скорость следующим образом:

\[ K = \frac{1}{2} I \omega^2 \]

Теперь, когда у нас есть все формулы, давайте посчитаем значения для заданных параметров.

1. Массу (\(m\)) нам не дано, поэтому мы не можем рассчитать точное значение момента инерции (\(I\)). 하지만 мы можем выразить массу через плотность и геометрические параметры диска: \(m = \rho \cdot V\), где \(\rho\) - плотность меди, а \(V\) - его объём. Объем диска (\(V\)) можно рассчитать как \(V = \pi R^2 L\), где \(L\) - толщина диска. Подставив эти значения в формулу \(I = \frac{1}{2} m R^2\), мы получим:

\[ I = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 L) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 L \]

2. Теперь найдем угловую скорость (\(\omega\)). У нас есть заданный закон изменения угла поворота радиуса: \(\phi = At + Bt^2 + Ct^3\), где \(A = 2 \, рад/с\), \(B = 3 \, рад/с^2\), \(C = 4 \, рад/с^3\). Дифференцируем это выражение по времени, чтобы получить угловую скорость (\(\omega = \frac{d\phi}{dt}\)):

\[ \omega = \frac{d\phi}{dt} = A + 2Bt + 3Ct^2 \]

3. Найдем количество оборотов (\(N\)) при времени \(t = 5\) секунд, используя \(N = \frac{\phi}{2\pi}\). Подставив заданные значения в данное выражение, получим:

\[ N = \frac{\phi}{2\pi} = \frac{At + Bt^2 + Ct^3}{2\pi} = \frac{(2 \cdot 5) + (3 \cdot 5^2) + (4 \cdot 5^3)}{2\pi} \]

4. Теперь рассчитаем кинетическую энергию (\(K\)) через момент инерции (\(I\)) и угловую скорость (\(\omega\)). Подставим значения в формулу:

\[ K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \rho \pi R^4 L \right) \left( A + 2Bt + 3Ct^2 \right)^2 \]

Подставляем все значения и упрощаем формулу для получения численного ответа.