Каков угол MAC в равностороннем треугольнике, если медиана AM равна 23 см? Каково расстояние от точки М до стороны

Стройящаяся медиана AM делит сторону BC равностороннего треугольника на две равные части. Пусть точка D - середина стороны BC, а точка H - точка касания медианы AM и стороны BC. Заметим, что треугольник AMC - прямоугольный, поскольку медиана AM является высотой треугольника. Также треугольник AHB - прямоугольный, поскольку AM является медианой.

Получаем следующую картину:

\[
\begin{array}{c}
\cdot \\
| \\
| \ \ \ H \\
| \ \cdot \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \\
A \ \ \ \ \ \ M \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ D \\
| \ \cdot \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot \\
| \\
\cdot \\
\end{array}
\]

Так как треугольник ABC - равносторонний, то угол BAC = 60°, и также угол AMC = 90° (поскольку треугольник AMC - прямоугольный).

Обратим внимание, что треугольники AMC и AHB подобны (по теореме о перпендикулярах), поэтому соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

Так как середины отрезков AD и HC совпадают (обозначим эту точку как Е), то получаем:

\[
\frac{{AM}}{{MH}} = \frac{{AE}}{{EH}}
\]

Так как треугольник ABC - равносторонний, то сторона BC длиной 2a, где a - длина медианы AM, то есть BC = 2 * 23 см = 46 см.

Также из равноправил построения треугольника ABC из точки M мы можем заключить, что EM = MC = \(\frac{{BC}}{{2}} = \frac{{46}}{{2}} = 23\) см.

Тогда, заменив в уравнении соответствующие стороны на полученные значения:

\[
\frac{{23}}{{23+MH}} = \frac{{23}}{{MH}}
\]

Упростим полученное уравнение, умножив его обе стороны на MH:

\[
23 = 23 + MH
\]

Вычитаем 23 из обеих частей уравнения:

\[
0 = MH
\]

Таким образом, получаем, что MH = 0.

Ответ: расстояние от точки M до стороны BC равно нулю, то есть точка М лежит на стороне BC треугольника АВС. Угол MAC в данном случае будет равен 0 градусов.