Каков угол ABC на окружности радиусом 5, если точки A, B и C последовательно отмечены на ней и AC равно 5, и известно

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойства окружности и треугольников. Давайте разберемся пошагово.

1. Дано, что окружность имеет радиус 5. Радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ее окружности. Обозначим центр окружности как точку O.

2. По условию, точки A, B и C последовательно отмечены на окружности. Обозначим угол BAC как α, угол ABC как β и угол BCA как γ.

3. Зная, что AC равно 5, мы можем заключить, что это длина хорды, а именно отрезка, соединяющего точки A и C.

4. Согласно свойству хорды, перпендикуляр, проведенный из центра окружности к середине хорды, делит ее на две равные части. Обозначим точку пересечения хорды AC с радиусом AO (проведенным из центра окружности O) как D.

5. Исходя из свойств перпендикуляра, мы можем сказать, что AD равно половине длины хорды AC, то есть AD равно 2. Также, т.к. OD - это радиус окружности равный 5, то OD = 5.

6. Мы видим, что треугольник AOD является прямоугольным, с прямым углом AOD. Используя теорему Пифагора, мы можем вычислить длину отрезка OA следующим образом:
\[AO^2 = OD^2 - AD^2\]
\[AO^2 = 5^2 - 2^2\]
\[AO^2 = 25 - 4\]
\[AO^2 = 21\]
\[AO = \sqrt{21}\]

7. Теперь мы можем рассмотреть треугольник OAB. У этого треугольника известны длины двух сторон: OA = \(\sqrt{21}\) и AB = 5, так как это радиус окружности.

8. Треугольник OAB - треугольник с двумя известными сторонами и углом между ними, поэтому мы можем использовать косинусную теорему для вычисления угла BAO. Пусть этот угол будет равен φ, тогда
\[\cos(\phi) = \frac{AB^2 + OA^2 - OB^2}{2 \cdot AB \cdot OA}\]
\[\cos(\phi) = \frac{5^2 + \sqrt{21}^2 - 5^2}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{21}}\]
\[\cos(\phi) = \frac{21}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{21}}\]

9. Раскрывая выражение в знаменатели, мы получим:
\[\cos(\phi) = \frac{21}{10 \cdot \sqrt{21}}\]
\[\cos(\phi) = \frac{21}{10\sqrt{21}}\]

10. Теперь, чтобы вычислить фактическое значение угла BAO, нам необходимо взять арккосинус от полученного значения:
\[\phi = \arccos\left(\frac{21}{10\sqrt{21}}\right)\]

11. Однако, нам нужен угол ABC, а не угол BAO. Учитывая, что угол ABC является тупым (задача говорит об этом), мы можем найти его по формуле:
\[\beta = 180° - \phi\]

Итак, мы получаем угол ABC равным:
\[\beta = 180° - \arccos\left(\frac{21}{10\sqrt{21}}\right)\]