Каков тангенс угла наклона касательной линии, проведенной через точку (x₀, y₀) на графике функции y=x^3+2log.e(x/2

Чтобы найти тангенс угла наклона касательной линии к графику функции, проведенной через заданную точку, нам понадобятся знания из дифференциального исчисления.

Для начала, нам нужно найти производную функции \(y = x^3 + 2\ln\left(\frac{x}{2}\right)\). Для этого воспользуемся правилами дифференцирования.

Правило дифференцирования для функции \(y = x^n\) гласит, что производная равна \(y" = nx^{n-1}\).
Правило дифференцирования для функции \(y = \ln x\) гласит, что производная равна \(y" = \frac{1}{x}\).

Применим эти правила поочередно.

Производная функции \(y = x^3\) равна \(y" = 3x^{3-1} = 3x^2\).

Производная функции \(y = 2\ln\left(\frac{x}{2}\right)\) может быть записана как произведение константы и производной от \(\ln\left(\frac{x}{2}\right)\).
Производная от \(\ln\left(\frac{x}{2}\right)\) равна \(\frac{1}{\frac{x}{2}} = \frac{2}{x}\).
Таким образом, производная функции \(y = 2\ln\left(\frac{x}{2}\right)\) равна \(y" = 2 \cdot \frac{2}{x} = \frac{4}{x}\).

Теперь, чтобы найти тангенс угла наклона касательной линии, проведенной через точку \((x_0, y_0)\), мы должны подставить \(x = x_0\) в выражение для производной \(y"\) и вычислить значение в этой точке.

Таким образом, тангенс угла наклона касательной линии будет равен:
\[
\tan(\theta) = y" = 3x_0^2 + \frac{4}{x_0}
\]

Это выражение дает нам значение тангенса угла наклона касательной линии, проведенной через точку \((x_0, y_0)\) на графике функции \(y = x^3 + 2\ln\left(\frac{x}{2}\right)\) к оси абсцисс.