Каков сидерический период вращения Сатурна, если его большая полуось составляет 54 а.е., а у Меркурия синодический

Хорошо, чтобы найти сидерический период вращения Сатурна, мы можем использовать формулу, которая связывает большую полуось орбиты с периодом вращения планеты. Формула выглядит следующим образом:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}\]

Где \(T\) - период вращения планеты, \(a\) - большая полуось орбиты, \(G\) - гравитационная постоянная и \(M\) - масса Солнца.

Для нахождения периода вращения Сатурна нам потребуется значение гравитационной постоянной и массы Солнца. Значение гравитационной постоянной составляет \(G = 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \, \text{с}^2)\), а масса Солнца равна \(M = 1.989 \times 10^{30} \, \text{кг}\).

Подставляя известные значения в формулу и решая, получим:

\[\begin{aligned}
T_{\text{Сатурн}} &= 2\pi\sqrt{\frac{(54 \, \text{а.е.})^3}{(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \, \text{с}^2))(1.989 \times 10^{30} \, \text{кг})}} \\
&\approx 2\pi\sqrt{\frac{(54 \times 1.496 \times 10^{11} \, \text{м})^3}{(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \, \text{с}^2))(1.989 \times 10^{30} \, \text{кг})}}
\end{aligned}\]

Теперь мы можем рассчитать значение этого выражения:

\[\begin{aligned}
T_{\text{Сатурн}} &\approx 2\pi\sqrt{\frac{(2.70784 \times 10^{9} \, \text{м})^3}{(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \, \text{с}^2))(1.989 \times 10^{30} \, \text{кг})}} \\
&\approx 2\pi\sqrt{\frac{1.62539699744 \times 10^{28} \, \text{м}^3}{1.326095957 \times 10^{20} \, \text{м}^3/\text{с}^2}} \\
&\approx 2\pi\sqrt{\frac{1.2256963804 \times 10^{8} \, \text{м}^3/\text{с}^2}{1.326095957 \times 10^{20} \, \text{м}^3/\text{с}^2}} \\
&\approx 2\pi\sqrt{9.2420734292 \times 10^{-13}} \\
&\approx 2\pi\times9.6182611142 \times 10^{-7} \\
&\approx 6.036986404 \times 10^{-6} \, \text{сезонов}
\end{aligned}\]

Таким образом, сидерический период вращения Сатурна составляет приблизительно \(6.037 \times 10^{-6}\) сезонов.