Каков радиус вписанной окружности трапеции ABCD, если известно, что ее центр находится на большем основании AD и длины

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства вписанной окружности трапеции.

Во-первых, известно, что центр вписанной окружности лежит на большем основании AD трапеции ABCD. Поэтому, центр окружности также будет являться серединой отрезка AD.

Во-вторых, известны длины отрезков CD и BD, которые равны 9 см и 12 см соответственно.

Для нахождения радиуса вписанной окружности трапеции, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника BCD.

Рассмотрим треугольник BCD. Он является прямоугольным, так как угол при вершине C является прямым (так как вписанная окружность пересекает сторону CD под прямым углом).

Применим теорему Пифагора:
\[BD^2 = BC^2 + CD^2\]
\[12^2 = BC^2 + 9^2\]
\[144 = BC^2 + 81\]
\[BC^2 = 144 - 81\]
\[BC^2 = 63\]

Теперь, чтобы найти радиус окружности, мы должны найти высоту трапеции от меньшего основания BC до центра окружности.

Мы можем использовать подобие треугольников BCX и DCB, где X - точка касания окружности с отрезком BC. Оба треугольника являются прямоугольными, так как сторона CX является радиусом окружности, а угол при вершине X - прямой.

Используем свойство подобия треугольников:
\[\frac{BX}{DC} = \frac{BC}{BD}\]
\[\frac{BX}{9} = \frac{\sqrt{63}}{12}\]
\[BX = \frac{9 \cdot \sqrt{63}}{12}\]

Так как центр окружности лежит на линии симметрии трапеции, то расстояние от точки X до центра окружности равно радиусу окружности.

Итак, радиус вписанной окружности трапеции ABCD составляет:
\[r = \frac{BX}{2} = \frac{9 \cdot \sqrt{63}}{24}\]