Каков радиус вписанного круга в равнобедренном треугольнике ABC, если медиана AK равна 22 см и биссектриса угла B делит

Для начала, давайте определим некоторые основные понятия. Вписанный круг в треугольник - это круг, который касается всех сторон треугольника. Радиус этого круга будет равен расстоянию от его центра до любой стороны треугольника.

Мы знаем, что медиана AK равна 22 см. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Поэтому отрезок AK делит сторону BC пополам.

Далее, нам известно, что биссектриса угла B делит сторону AC в соотношении 3:5 от вершины A. Пусть точка деления стороны AC находится в точке M. То есть AM:MC = 3:5.

Теперь мы можем приступить к решению задачи по нахождению радиуса вписанного круга в треугольник ABC.

1. Найдем длину отрезка BM. Поскольку AM:MC = 3:5, мы можем записать:
\[AM = \frac{3}{3+5} \cdot AC = \frac{3}{8} \cdot AC\]
\[MC = \frac{5}{3+5} \cdot AC = \frac{5}{8} \cdot AC\]

2. Заметим, что треугольник ABM и треугольник CBM являются равнобедренными треугольниками, поскольку AM = BM и MC = BM.
Поэтому у этих треугольников углы ABM и CBM равны между собой, и углы AMB и CMB тоже равны между собой.

3. Так как биссектриса угла B делит сторону AC в соотношении 3:5, то мы можем записать:
\[BM:MA = BM:MC = 5:3\]
Применим подобие треугольников ABM и CMB:
\[ABM \sim CMB\]
Это означает, что отношения длин соответствующих сторон этих треугольников равны:
\[AB:CB = BM:MC = 5:3\]
Мы знаем, что AC = AM + MC, поэтому можем выразить длину AB через длину AC:
\[AB = \frac{5}{5+3} \cdot AC = \frac{5}{8} \cdot AC\]

4. Теперь обратимся к известному свойству равнобедренного треугольника: высота, проведенная из вершины, делит основание пополам. В нашем случае, AK - медиана, является и высотой треугольника ABC, и она делит основание AB пополам, поэтому:
\[AK = \frac{1}{2} \cdot AB\]

5. Вспомним, что радиус вписанного круга - это расстояние от его центра до любой стороны треугольника. В нашем случае, радиус круга - это отрезок BK. Поскольку AK - медиана треугольника ABC и делит сторону AB пополам, то можно записать:
\[AK = BK\]

6. Теперь мы можем использовать известные значения, чтобы найти радиус вписанного круга.
Из пункта 4 мы знаем, что \(AK = \frac{1}{2} \cdot AB\).
Из пункта 5 мы знаем, что \(AK = BK\).
Подставим значения:
\[\frac{1}{2} \cdot AB = BK\]
\[\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8} \cdot AC = BK\]

7. Итак, радиус вписанного круга (отрезок BK) можно выразить через длину стороны AC:
\[BK = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8} \cdot AC\]

Окончательный ответ: радиус вписанного круга в равнобедренном треугольнике ABC с медианой AK равной 22 см и биссектрисой угла B, которая делит сторону AC в соотношении 3:5, равен \(\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8} \cdot AC\) или \(\frac{5}{16} \cdot AC\).