Каков радиус внеписанной окружности, касающейся гипотенузы, в прямоугольном треугольнике, где известно, что стороны

Чтобы найти радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике, воспользуемся следующими свойствами:

1. Вписанная окружность в прямоугольный треугольник касается всех сторон треугольника.

2. Точка касания вписанной окружности с треугольником разделяет каждую сторону на два сегмента, длины которых можно найти по формуле:
\[s_a = \frac{{a + c - b}}{2}\]
\[s_b = \frac{{b + c - a}}{2}\]
\[s_c = \frac{{a + b - c}}{2}\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

3. Радиус вписанной окружности связан с длинами сегментов следующим соотношением:
\[r = \sqrt{\frac{{s_a \cdot s_b \cdot s_c}}{s}}\]

где \(s\) - полупериметр треугольника:
\[s = \frac{{a + b + c}}{2}\]

Применим эти свойства к нашей задаче.

Из условия задачи известно, что стороны \(ab\) и \(ac\) равны, а стороны \(av\) и \(a\) тоже равны. Обозначим эти стороны буквой \(x\) для удобства.

Таким образом, длины сторон треугольника будут: \(a = x\), \(b = c = x\), \(s_a = s_b = s_c = \frac{{x + x - x}}{2} = x\), \(s = \frac{{x + x + x}}{2} = \frac{{3x}}{2}\).

Теперь можем найти радиус вписанной окружности:
\[
r = \sqrt{\frac{{x \cdot x \cdot x}}{\frac{{3x}}{2}}} = \sqrt{\frac{{2x^3}}{{3x}}} = \sqrt{\frac{{2x^2}}{3}}
\]

Таким образом, радиус вписанной окружности, касающейся гипотенузы в прямоугольном треугольнике при данных условиях, равен \(\sqrt{\frac{{2x^2}}{3}}\).