Каков радиус орбиты электрона в первом возбужденном состоянии атома водорода (с квантовым числом n=2)?

Чтобы найти радиус орбиты электрона в первом возбужденном состоянии атома водорода, нужно использовать формулу, основанную на квантовой механике.

В атоме водорода энергия электрона, находящегося в n-том состоянии, задается следующим образом:

\[E_n = -\frac{{13.6 \: \text{{эВ}}}}{{n^2}}\]

где n - квантовое число.

В данном случае n=2, и мы ищем радиус орбиты второго возбужденного состояния.

Радиус орбиты электрона связан с его энергией следующим образом:

\[E = \frac{1}{2}m_ev^2 = -\frac{{13.6 \: \text{{эВ}}}}{{n^2}}\]

где m_e - масса электрона, v - скорость электрона вокруг ядра.

Согласно квантовой теории, момент импульса электрона является целым числом кратным постоянной Планка h:

\[m_evr = \frac{n h}{2\pi}\]

где r - радиус орбиты электрона.

Сочетая эти две формулы, мы можем найти радиус орбиты:

\[\frac{1}{2}m_ev^2r = -\frac{{13.6 \: \text{{эВ}}}}{{n^2}}\]

\[\frac{1}{2}\frac{{nh}}{{2\pi}}\frac{{e^2}}{{r}} = -\frac{{13.6 \: \text{{эВ}}}}{{n^2}}\]

где e - заряд электрона.

Решая это уравнение относительно r, мы получаем:

\[r = \frac{{n^2h^2}}{{8\pi^2m_ee^2}}\frac{{13.6 \: \text{{эВ}}}}{{n^2}}\]

Сокращая некоторые значения, получаем окончательную формулу для радиуса орбиты:

\[r = \frac{{nh^2}}{{4\pi^2m_ee^2}}\]

Теперь подставим соответствующие значения:

n = 2

h = 6.62607015 × 10^-34 Дж ⋅ с

m_e = 9.10938356 × 10^-31 кг

e = 1.602176634 × 10^-19 Кл

\[\begin{align*}
r &= \frac{{2(6.62607015 \times 10^{-34})^2}}{{4\pi^2(9.10938356 \times 10^{-31})(1.602176634 \times 10^{-19})^2}} \\
&= 0.529 \times 10^{-10} \: \text{{м}} \\
&= 0.529 \: \text{{ангстрем}}
\end{align*}\]

Таким образом, радиус орбиты электрона в первом возбужденном состоянии атома водорода (с n = 2) равен 0.529 ангстрем.