Каков радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием длиной 8 см и высотой, опущенной

Хорошо, давайте по порядку рассмотрим данную задачу.

Первым шагом нам необходимо понять, что такое вписанная окружность в треугольник. Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех сторон треугольника. В данной задаче у нас равнобедренный треугольник, что означает, что две стороны равны друг другу.

Вторым шагом нам нужно выяснить, как определить радиус вписанной окружности в треугольник. Существует формула, которая гласит, что радиус вписанной окружности равен произведению площади треугольника на его полупериметр, деленное на половину площади треугольника. Формула выглядит следующим образом:

\[ r = \frac{{S \cdot p}}{{\frac{S}{2}}} \]

где \( r \) - радиус окружности, \( S \) - площадь треугольника, \( p \) - полупериметр треугольника.

Теперь перейдем к третьему шагу. Нам нужно определить высоту треугольника, опущенную на основание. В данной задаче говорится, что высота равна 8 см.

Четвертым шагом вычислим площадь треугольника. Для этого воспользуемся формулой для площади равнобедренного треугольника, которая гласит:

\[ S = \frac{{a \cdot h}}{2} \]

где \( S \) - площадь треугольника, \( a \) - длина основания треугольника, \( h \) - длина высоты, опущенной на основание. Подставляя известные значения в формулу, получаем:

\[ S = \frac{{8 \cdot 8}}{2} = 32 \, \text{см}^2 \]

Пятый шаг - вычислим полупериметр треугольника. Для равнобедренного треугольника полупериметр вычисляется по формуле:

\[ p = a + b + c \]

где \( a \), \( b \), \( c \) - длины сторон треугольника. В нашем случае две стороны равны друг другу, поэтому формулу можно записать так:

\[ p = 2a + c \]

Основание равнобедренного треугольника в нашей задаче равно 8 см, следовательно, \( a = 8 \) см. Периметр (общая длина всех сторон) равнобедренного треугольника равен:

\[ P = 2a + c = 2 \cdot 8 + c = 16 + c \]

Шестой и последний шаг - подставляем все значения в формулу для радиуса вписанной окружности:

\[ r = \frac{{S \cdot p}}{{\frac{S}{2}}} = \frac{{32 \cdot (16 + c)}}{{\frac{32}{2}}} = \frac{{32 \cdot (16 + c)}}{{16}} \]

Теперь у нас осталось определить длину стороны \( c \) равнобедренного треугольника. Вспоминаем, что две стороны равны, и основание равно 8 см. Таким образом, сторона \( c \) также равна 8 см.

Подставим эту информацию и вычислим радиус вписанной окружности:

\[ r = \frac{{32 \cdot (16 + 8)}}{{16}} = \frac{{32 \cdot 24}}{{16}} = \frac{{768}}{{16}} = 48 \, \text{см} \]

Итак, радиус окружности, вписанной в данный равнобедренный треугольник, составляет 48 см.