Каков радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 15 см? Каков радиус окружности, описанной около

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с понимания основных свойств правильного треугольника. Правильный треугольник имеет равные стороны и углы. В таком треугольнике, центр окружности, вписанной в него, совпадает с центром окружности, описанной вокруг него.

Для нахождения радиуса \( r_1 \) вписанной окружности, мы можем использовать следующую формулу:

\[ r_1 = \frac{{S_{\triangle}}}{{p_{\triangle}}} \]

где \( S_{\triangle} \) обозначает площадь треугольника, а \( p_{\triangle} \) - полупериметр треугольника.

Для нашего треугольника со стороной 15 см, чтобы найти полупериметр, мы можем использовать формулу:

\[ p_{\triangle} = \frac{{3 \cdot a}}{2} \]

где \( a \) - длина стороны треугольника.

Подставив значения, получим:

\[ p_{\triangle} = \frac{{3 \cdot 15}}{2} = \frac{{45}}{2} \]

Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя формулу для площади:

\[ S_{\triangle} = \sqrt{p_{\triangle} \cdot (p_{\triangle} - a)^3} \]

Подставим значения:

\[ S_{\triangle} = \sqrt{\frac{{45}}{2} \cdot \left(\frac{{45}}{2} - 15\right)^3} \]

Вычислив это выражение, получим значение площади \( S_{\triangle} \).

Теперь, используя значение площади и полупериметра, мы можем найти радиус \( r_1 \) вписанной окружности:

\[ r_1 = \frac{{S_{\triangle}}}{{p_{\triangle}}} \]

Подставим значения и вычислим радиус вписанной окружности \( r_1 \).

Чтобы найти радиус \( r_2 \) описанной окружности, мы можем использовать следующую формулу:

\[ r_2 = \frac{{a}}{{2 \cdot \sin(\frac{{\pi}}{{3}})}} \]

где \( a \) - длина стороны треугольника.

Подставив значение длины стороны, вычислим радиус \( r_2 \) описанной окружности.

Чтобы найти периметр треугольника, мы можем использовать формулу:

\[ P_{\triangle} = 3 \cdot a \]

где \( a \) - длина стороны треугольника.

Подставив значение длины стороны, вычислим периметр треугольника \( P_{\triangle} \).

Вот пошаговое решение:

1. Вычисляем полупериметр треугольника:
\[ p_{\triangle} = \frac{{3 \cdot 15}}{2} \]

2. Вычисляем площадь треугольника:
\[ S_{\triangle} = \sqrt{\frac{{45}}{2} \cdot \left(\frac{{45}}{2} - 15\right)^3} \]

3. Вычисляем радиус вписанной окружности:
\[ r_1 = \frac{{S_{\triangle}}}{{p_{\triangle}}} \]

4. Вычисляем радиус описанной окружности:
\[ r_2 = \frac{{15}}{{2 \cdot \sin(\frac{{\pi}}{{3}})}} \]

5. Вычисляем периметр треугольника:
\[ P_{\triangle} = 3 \cdot 15 \]

После выполнения всех этих шагов, мы получим значения радиуса вписанной окружности \( r_1 \), радиуса описанной окружности \( r_2 \), площади треугольника и его периметра.