Каков радиус окружности, описывающей правильный многоугольник с радиусом вписанной окружности равным 5 см? Сколько

Чтобы найти радиус описывающей окружности, необходимо знать радиус вписанной окружности и количество сторон многоугольника. Давайте решим эту задачу по шагам.

1. Радиус вписанной окружности (\(r\)) уже известен и равен 5 см.

2. Рассмотрим одну сторону правильного многоугольника и луч, соединяющий его с центром окружности (промежуток от центра окружности до одной из сторон многоугольника). Этот луч является радиусом вписанной окружности.

3. Так как многоугольник является правильным, все его стороны равны. Обозначим сторону многоугольника как \(s\).

4. Рассмотрим треугольник, образованный радиусом вписанной окружности, радиусом описанной окружности и стороной многоугольника. Этот треугольник является равнобедренным, так как оба радиуса равны, и у него есть две одинаковые стороны длиной \(r\).

5. Применим теорему косинусов к равнобедренному треугольнику, чтобы найти значение \(s\). Для этого выразим значению \(s\) через радиус вписанной окружности и угол, образованный одной из сторон многоугольника и центром окружности.

6. Угол этого треугольника в радианах обозначим как \(\theta\). Так как многоугольник является правильным, то у него столько же равных углов, сколько и сторон многоугольника. Таким образом, угол \(\theta\) можно выразить через количество сторон многоугольника.

7. В правильном многоугольнике количество сторон и количество углов одинаково, и можно найти значение угла \(\theta\) с помощью формулы \(\theta = \frac{{360^\circ}}{{n}}\), где \(n\) - количество сторон многоугольника.

8. Теперь, когда у нас есть значение угла \(\theta\), мы можем выразить значение \(s\) через \(\theta\) и радиус вписанной окружности \(r\) с помощью формулы: \(s = 2 \cdot r \cdot \sin\left(\frac{{\theta}}{{2}}\right)\).

9. Подставляем изначальные значения: \(r = 5 \, \text{см}\) и \(n = 360^\circ\). Рассчитываем угол \(\theta\): \(\theta = \frac{{360^\circ}}{{n}} = \frac{{360^\circ}}{{5}} = 72^\circ\).

10. Подставляем все значения в формулу для \(s\): \(s = 2 \cdot 5 \, \text{см} \cdot \sin\left(\frac{{72^\circ}}{{2}}\right)\).

11. Расчет синуса угла: \(\sin\left(\frac{{72^\circ}}{{2}}\right) = \sin(36^\circ) \approx 0,5878\).

12. И, наконец, вычисляем значение \(s\): \(s = 2 \cdot 5 \, \text{см} \cdot 0,5878 \approx 5,878 \, \text{см}\).

Таким образом, радиус окружности, описывающей правильный многоугольник с радиусом вписанной окружности равным 5 см, составляет примерно 5,878 см. Чтобы найти количество сторон многоугольника, нужно знать значение угла \(\theta\), которое мы вычислили ранее. Для этого воспользуемся формулой \(\theta = \frac{{360^\circ}}{{n}}\), где \(n\) - количество сторон многоугольника. Подставим известное значение \(\theta = 72^\circ\):

\(\frac{{360^\circ}}{{n}} = 72^\circ\).

Домножаем обе стороны уравнения на \(n\):

\(360^\circ = 72^\circ \cdot n\).

Делим обе стороны уравнения на 72:

\(\frac{{360}}{{72}} = n\).

Упрощаем:

\(5 = n\).

Таким образом, правильный многоугольник имеет 5 сторон.