Каков радиус окружности, описанной вокруг боковой грани правильной треугольной пирамиды, если плоский угол при вершине

Для того чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг боковой грани правильной треугольной пирамиды, нам необходимо знать её боковую поверхность.

Площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P \cdot h,\]

где \(P\) - периметр основания пирамиды, \(h\) - высота боковой грани.

Для правильной треугольной пирамиды площадь боковой поверхности равна данному значению.

Для того чтобы найти периметр основания (\(P\)), нужно знать его сторону. В правильной треугольной пирамиде все стороны основания равны. Для обозначения длины стороны основания воспользуемся буквой \(a\).

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h.\]

Теперь нам известно, что в пирамиде угол при вершине (\(C\)) равен 90 градусов. При этом основание \(ABC\) является прямоугольным треугольником.

Чтобы найти длину стороны основания (\(a\)), воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника \(ABC\):

\[AC^2 = AB^2 + BC^2.\]

Одна сторона треугольника равна \(h\), поскольку она является высотой, опущенной на основание \(AB\). Другая сторона треугольника равна \(a\), и она является основанием, для которого мы и ищем значение. Гипотенузой треугольника является радиус окружности, описанной вокруг боковой грани пирамиды, и обозначим её буквой \(R\).

Таким образом, имеем уравнение:

\[h^2 = R^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2.\]

Теперь, используя это уравнение, найдем длину стороны основания \(a\):

\[a^2 = 2h^2 - 4R^2.\]

Подставим значение площади боковой поверхности пирамиды:

\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 2h^2 - 4R^2.\]

Упростим уравнение:

\[a \cdot h = 4h^2 - 8R^2.\]

Так как нам нужно найти радиус окружности (\(R\)), выразим его из этого уравнения:

\[8R^2 = 4h^2 - a \cdot h.\]

\[R^2 = \frac{4h^2 - a \cdot h}{8}.\]

\[R^2 = \frac{h(4h - a)}{8}.\]

Теперь найдем радиус окружности, подставив известные значения. У нас есть площадь боковой поверхности пирамиды, и нам нужно найти радиус, когда \(h = 5\).

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h.\]

Подставим значение площади и найдем \(a\):

\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = S_{\text{бок}}.\]

\[a = \frac{2S_{\text{бок}}}{h}.\]

Теперь подставим значение \(a\) и \(h\) в формулу для радиуса:

\[R^2 = \frac{h(4h - a)}{8}.\]

\[R^2 = \frac{5(4 \cdot 5 - \frac{2S_{\text{бок}}}{5})}{8}.\]

\[R^2 = \frac{25(20 - \frac{2S_{\text{бок}}}{5})}{8}.\]

\[R^2 = \frac{25(100 - 2S_{\text{бок}})}{40}.\]

Теперь вам остается только найти значение \(R\), подставив известную площадь боковой поверхности пирамиды (\(S_{\text{бок}}\)) в данную формулу и выполнить вычисления.