Каков радиус окружности, которая касается сторон треугольника, длины которых равны 12 см, 14 см и

16 см?

Чтобы найти радиус окружности, которая касается сторон треугольника, мы можем использовать формулу, которая связывает радиус окружности с длинами сторон треугольника - формулу радиуса окружности вписанной в треугольник.

Формула радиуса окружности вписанной в треугольник:

\[r = \frac{abc}{4S}\]

где r - радиус окружности, a, b и c - длины сторон треугольника, S - площадь треугольника.

Давайте посчитаем площадь треугольника с помощью формулы Герона:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где p - полупериметр треугольника, который можно вычислить по формуле:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

Теперь подставим значения сторон треугольника в формулу радиуса окружности:

\[r = \frac{12 \cdot 14 \cdot 16}{4 \cdot \sqrt{\left(\frac{12 + 14 + 16}{2}\right)\left(\left(\frac{12 + 14 + 16}{2}\right) - 12\right)\left(\left(\frac{12 + 14 + 16}{2}\right) - 14\right)\left(\left(\frac{12 + 14 + 16}{2}\right) - 16\right)}}\]

Теперь можно произвести вычисления:

\[r = \frac{12 \cdot 14 \cdot 16}{4 \cdot \sqrt{\left(\frac{12 + 14 + 16}{2}\right)\left(\left(\frac{12 + 14 + 16}{2}\right) - 12\right)\left(\left(\frac{12 + 14 + 16}{2}\right) - 14\right)\left(\left(\frac{12 + 14 + 16}{2}\right) - 16\right)}} = \frac{2688}{4 \cdot \sqrt{21 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5}}\]

Упростим выражение:

\[r = \frac{2688}{4 \cdot \sqrt{21 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5}} = \frac{672}{\sqrt{21 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5}}\]

Теперь можем вычислить значение радиуса окружности:

\[r \approx \frac{672}{\sqrt{21 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5}} \approx \frac{672}{\sqrt{6615}}\]

Таким образом, радиус окружности, которая касается сторон треугольника длинами 12 см, 14 см и 16 см, составляет примерно \(\frac{672}{\sqrt{6615}}\) см.