Каков радиус катушки, если ее ось, имеющая 50 витков, параллельна магнитным линиям однородного поля с индукцией

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для электродвижущей силы (ЭДС) индукции. Формула связывает эДС индукции \(\mathcal{E}\), количество витков \(N\), скорость изменения магнитного поля и площадь петли, охватываемой витками катушки \(S\). Формула выглядит следующим образом:

\(\mathcal{E} = -\frac{{d\Phi}}{{dt}} = -N \cdot \frac{{d(B \cdot S)}}{{dt}}\)

где:
\(\mathcal{E}\) - эДС индукции,
\(N\) - количество витков,
\(B\) - индукция магнитного поля,
\(S\) - площадь петли.

В задаче дано, что в катушке возникает эДС индукции со средним значением 31,4 В, количество витков равно 50, индукция магнитного поля равна 2 Тл, а время поворота составляет 0,5 секунды.

Мы хотим найти радиус катушки \(R\), что означает, что нам нужно выразить площадь петли \(S\) через радиус \(R\).

Площадь круглой петли можно выразить по формуле:

\(S = \pi R^2\)

Теперь подставим все значение в формулу эДС индукции и решим уравнение относительно радиуса \(R\):

\(\mathcal{E} = -N \cdot \frac{{d(B \cdot S)}}{{dt}} = -N \cdot B \cdot \frac{{d(\pi R^2)}}{{dt}}\)

Так как величина \(\mathcal{E}\) является средним значением эДС индукции, она равна изменению магнитного потока \(\Phi\) за указанное время \(\Delta t\):

\(\mathcal{E} = \Delta \Phi = B \cdot S\)

Тогда уравнение принимает следующий вид:

\(\Delta \Phi = -N \cdot B \cdot d(\pi R^2) = -N \cdot B \cdot 2 \pi R \cdot dR\)

Теперь подставим известные значения в полученное уравнение:

\(31,4 = -50 \cdot 2 \cdot 3,14 \cdot R \cdot \frac{{dR}}{{dt}}\)

Мы знаем, что во время поворота радиус \(R\) меняется на величину \(\Delta R\) за время \(\Delta t\):

\(dR = \frac{{\Delta R}}{{\Delta t}}\)

Подставим это в уравнение:

\(31,4 = -50 \cdot 2 \cdot 3,14 \cdot R \cdot \frac{{\Delta R}}{{\Delta t}}\)

Так как у нас время поворота составляет 0,5 секунды, то заменим \(\frac{{\Delta R}}{{\Delta t}}\) на \(2R\):

\(31,4 = -50 \cdot 2 \cdot 3,14 \cdot R \cdot 2R\)

Упростим это уравнение:

\(31,4 = -628 \cdot R^2\)

Теперь решим это уравнение относительно радиуса \(R\):

\(R^2 = \frac{{31,4}}{{-628}}\)

\(R = \sqrt{\frac{{31,4}}{{-628}}}\)

\(R \approx 0,283 \, \text{м}\)

Таким образом, радиус катушки равен около 0,283 метра.