Каков периметр треугольника ABC, если на рисунке 109 длины медиан BK и AN составляют 15 см и 36 см соответственно

Для начала давайте разберемся с тем, что такое медианы в треугольнике.

Медианы - это линии, которые соединяют вершину треугольника с противоположной серединой стороны. В данной задаче у нас имеются медианы BK и AN.

Теперь, чтобы найти периметр треугольника ABC, нам необходимо определить длины оставшихся сторон треугольника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В нашем треугольнике BK является медианой, поэтому в нем нет прямого угла. Однако, мы можем описать прямоугольный треугольник так, чтобы сторона BK была гипотенузой.

Используя теорему Пифагора в треугольнике ABK, мы можем записать:

\[AB^2 = BN^2 + AN^2\]

где BN - половина стороны BC, а AN - половина стороны AC.

Делаем то же самое для треугольника ACN:

\[AC^2 = CN^2 + AN^2\]

где CN - половина стороны BC.

Теперь, чтобы найти периметр треугольника ABC, нам осталось найти длины сторон AB и AC. Для этого решим полученные уравнения.

Исходя из данных задачи, мы знаем, что BN = CN = 15 см и AN = 36 см. Подставляя эти значения в уравнения, мы получаем:

\[AB^2 = (15)^2 + (36)^2\]
\[AC^2 = (15)^2 + (36)^2\]

Решаем эти уравнения:

\[AB^2 = 225 + 1296\]
\[AC^2 = 225 + 1296\]

\[AB^2 = 1521\]
\[AC^2 = 1521\]

Определим значения сторон AB и AC, извлекая квадратные корни:

\[AB = \sqrt{1521} = 39\]
\[AC = \sqrt{1521} = 39\]

Теперь мы можем легко найти периметр треугольника ABC, сложив длины всех его сторон:

\[P = AB + BC + AC\]
\[P = 39 + 2 \cdot 15 + 39\]
\[P = 39 + 30 + 39\]
\[P = 108\]

Таким образом, периметр треугольника ABC равен 108 см.