Каков периметр треугольника A1B1C1, если A1, B1 и C1 являются серединами сторон треугольника ABC, где AB = 5 см, BC

Чтобы найти периметр треугольника A1B1C1, нужно сначала вычислить длины сторон треугольника ABC, а затем найти половины этих длин - стороны треугольника A1B1C1.

Для начала, давайте найдем длины сторон треугольника ABC, используя данные: AB = 5 см, BC = 9 см и CA = ?. Чтобы найти длину стороны CA, мы можем использовать теорему Пифагора или закон косинусов.

Для простоты, давайте воспользуемся теоремой Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Однако в нашем случае треугольник ABC не является прямоугольным, поэтому нам нужно использовать закон косинусов.

Закон косинусов гласит, что квадрат длины стороны, обозначим ее с^2, равен сумме квадратов двух других сторон (в нашем случае a^2 и b^2) минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними (в нашем случае С).

Используя формулу закона косинусов, мы можем записать:
$$C{A}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (C)$$

После подстановки известных значений, получим:
$$C{A}^2=5^2+9^2-2\cdot 5\cdot 9\cdot \cos (C)$$

Зная CA^2, мы можем вычислить CA, взяв квадратный корень. Но для дальнейших вычислений, нам понадобится только половина длины стороны CA, поэтому найдем CA1:
$$CA1=\frac{CA}{2}$$

Теперь, чтобы найти периметр треугольника A1B1C1, нужно сложить длины его сторон: A1B1, B1C1 и C1A1. Поскольку A1B1 и B1C1 имеют одинаковую длину, мы можем предположить, что C1A1 также будет равна этой длине. Обозначим ее как x.

Таким образом, периметр треугольника A1B1C1 равен:
$$P=A1B1+B1C1+C1A1=x+x+CA1=2x+CA1$$

Теперь нам осталось найти значение x, используя длину стороны CA1. Для этого мы можем воспользоваться свойствами треугольника ABC и треугольника A1B1C1.

Поскольку A1B1C1 - медианы треугольника ABC, соединяющие середины сторон, они делят каждую сторону пополам. Это означает, что A1B1C1 - это параллелограмм, и его диагонали делятся пополам.

Таким образом, A1B1C1 разбивается на четыре одинаковых треугольника. Из этого следует, что диагонали параллелограмма A1B1C1 равны между собой и половина длины стороны ABC. В нашем случае, длина стороны ABC равна CA, поэтому x равно половине CA.

Заменим CA1 на $\frac{CA}{2}$ и x на $\frac{CA}{2}$:
$$P=2\cdot \frac{CA}{2}+\frac{CA}{2}=3\cdot \frac{CA}{2}$$

Теперь, чтобы найти периметр треугольника A1B1C1, нам нужно найти $\frac{CA}{2}$. Для этого мы можем подставить найденное ранее значение CA:
$$P=3\cdot \frac{CA}{2}$$

Таким образом, периметр треугольника A1B1C1 равен трём половинам длины стороны ABC.