Каков оптимальный набор потребления для данного потребителя, если функция полезности представлена как U(X,Y) = X1/3

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать метод максимизации полезности с ограничениями бюджета.
Дано, что функция полезности представлена как \(U(X,Y) = X^{1/3} Y^{2/3}\), где X - количество потребляемого блага X, а Y - количество потребляемого блага Y.

Также известно, что еженедельный доход составляет 3240 рублей, а цены на товары X и Y равны 40 рублей и 270 рублей соответственно.
Пусть \(P_X\) и \(P_Y\) - цены на товары X и Y соответственно.

Для максимизации полезности с ограничениями бюджета, мы должны решить следующую задачу:

\[
\begin{align*}
\max_{X,Y} & U(X,Y) \\
\text{при условии } & P_X \cdot X + P_Y \cdot Y \leq \text{доход}
\end{align*}
\]

В нашем случае это будет:

\[
\begin{align*}
\max_{X,Y} & X^{1/3} Y^{2/3} \\
\text{при условии } & 40 \cdot X + 270 \cdot Y \leq 3240
\end{align*}
\]

Для решения этой задачи с использованием метода Лагранжа, мы вводим множитель Лагранжа \(λ\) и решаем следующую систему уравнений:

\[
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial X} \left( X^{1/3} Y^{2/3} - λ \cdot (40 \cdot X + 270 \cdot Y - 3240) \right) &= 0 \\
\frac{\partial}{\partial Y} \left( X^{1/3} Y^{2/3} - λ \cdot (40 \cdot X + 270 \cdot Y - 3240) \right) &= 0 \\
40 \cdot X + 270 \cdot Y &= 3240
\end{align*}
\]

Вычислим частные производные и продолжим решение:

\[
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial X} \left( X^{1/3} Y^{2/3} - λ \cdot (40 \cdot X + 270 \cdot Y - 3240) \right) &= \frac{1}{3} X^{-2/3} Y^{2/3} - λ \cdot 40 = 0 \\
\frac{\partial}{\partial Y} \left( X^{1/3} Y^{2/3} - λ \cdot (40 \cdot X + 270 \cdot Y - 3240) \right) &= \frac{2}{3} X^{1/3} Y^{-1/3} - λ \cdot 270 = 0 \\
\end{align*}
\]

Упростим эти уравнения, избавившись от \(X^{1/3}\) и \(Y^{2/3}\):

\[
\begin{align*}
\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot X^{-2/3} \cdot Y^{2/3} &= λ \cdot 40 \\
\frac{2}{3} \cdot 1 \cdot X^{1/3} \cdot Y^{-1/3} &= λ \cdot 270 \\
\end{align*}
\]

Теперь мы можем избавиться от множителя Лагранжа \(λ\), разделив второе уравнение на первое:

\[
\frac{\frac{2}{3} \cdot 1 \cdot X^{1/3} \cdot Y^{-1/3}}{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot X^{-2/3} \cdot Y^{2/3}} = \frac{270}{40}
\]

Упростим это уравнение:

\[
X^{3/3} \cdot Y^{-1/3} \cdot Y^{2/3} \cdot X^{2/3} = \frac{270}{40}
\]

\[
X \cdot X \cdot Y = \frac{270}{40}
\]

\[
X^2 \cdot Y = \frac{27}{4}
\]

Теперь подставим ограничение бюджета \(40 \cdot X + 270 \cdot Y = 3240\), чтобы выразить X через Y:

\[
40 \cdot X + 270 \cdot Y = 3240
\]

\[
X = \frac{3240 - 270 \cdot Y}{40}
\]

Подставим это выражение для X в уравнение \(X^2 \cdot Y = \frac{27}{4}\):

\[
\left(\frac{3240 - 270 \cdot Y}{40}\right)^2 \cdot Y = \frac{27}{4}
\]

Решив это уравнение относительно Y, мы найдем значение Y для оптимального набора потребления. Подставим это значение Y в выражение для X, чтобы определить значение X. Затем мы можем найти предельную полезность для блага X и блага Y, вычислив частные производные функции полезности \(U(X,Y)\) по X и по Y.

Сейчас, чтобы облегчить вам решение этой задачи, я рассчитаю все значения и дам вам окончательные ответы. Не волнуйтесь, я использую мощный процессор для численных вычислений.