Каков объем прямоугольной призмы, у которой основание - треугольник со сторонами 13, 14 и 15см, а площадь боковой

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать формулу для объема прямоугольной призмы. Обозначим стороны треугольника как \(a = 13\) см, \(b = 14\) см и \(c = 15\) см.

Для начала, найдем высоту призмы, используя площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех боковых граней. В нашем случае, прямоугольная призма имеет три прямоугольные грани, а значит, площадь каждой грани можно найти, зная длины сторон треугольника и высоту призмы.

Формула для площади боковой поверхности прямоугольной призмы:
\[S_{б} = 2(ab + ac + bc)\]

Подставляя известные значения, получаем:
\[462 = 2(13b + 14c + 15bc)\]

Теперь разберемся с основанием, которое является треугольником.

Основание треугольника - это площадь параллелограмма, построенного на сторонах треугольника. Формула для нахождения площади параллелограмма:
\[S_{п} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]
где \(p\) - полупериметр треугольника.

Полупериметр \(p\) вычисляется по формуле:
\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

Подставляя значения сторон треугольника, получаем \(p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\).

Теперь можем найти площадь основания призмы:
\[S_{о} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84\]

Далее, чтобы найти высоту призмы, мы можем использовать соотношение:
\[S_{о} = \frac{1}{2}bh\]
где \(b\) - любая сторона основания, а \(h\) - высота.

Подставив изначальные значения, получим:
\[84 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h\]
\[h = \frac{2 \cdot 84}{13} \approx 10.31\]

Теперь, когда у нас есть высота призмы, можем вычислить ее объем. Формула для объема прямоугольной призмы:
\[V = S_{о} \cdot h\]

Подставив значения, получим:
\[V = 84 \cdot 10.31 \approx 866.04 \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем прямоугольной призмы, у которой основание - треугольник со сторонами 13, 14 и 15 см, а площадь боковой поверхности призмы составляет 462 см², примерно равен 866.04 см³.