Каков объем прямоугольной призмы, у которой основание - треугольник со сторонами 13, 14 и 15см, а площадь боковой

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать формулу для объема прямоугольной призмы. Обозначим стороны треугольника как $a=13$ см, $b=14$ см и $c=15$ см.

Для начала, найдем высоту призмы, используя площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех боковых граней. В нашем случае, прямоугольная призма имеет три прямоугольные грани, а значит, площадь каждой грани можно найти, зная длины сторон треугольника и высоту призмы.

Формула для площади боковой поверхности прямоугольной призмы:
$$S_{б}=2(ab+ac+bc)$$

Подставляя известные значения, получаем:
$$462=2(13b+14c+15bc)$$

Теперь разберемся с основанием, которое является треугольником.

Основание треугольника - это площадь параллелограмма, построенного на сторонах треугольника. Формула для нахождения площади параллелограмма:
$$S_{п}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
где $p$ - полупериметр треугольника.

Полупериметр $p$ вычисляется по формуле:
$$p=\frac{a+b+c}{2}$$

Подставляя значения сторон треугольника, получаем $p=\frac{13+14+15}{2}=21$.

Теперь можем найти площадь основания призмы:
$$S_{о}=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84$$

Далее, чтобы найти высоту призмы, мы можем использовать соотношение:
$$S_{о}=\frac{1}{2}bh$$
где $b$ - любая сторона основания, а $h$ - высота.

Подставив изначальные значения, получим:
$$84=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot h$$
$$h=\frac{2\cdot 84}{13}\approx 10.31$$

Теперь, когда у нас есть высота призмы, можем вычислить ее объем. Формула для объема прямоугольной призмы:
$$V=S_{о}\cdot h$$

Подставив значения, получим:
$$V=84\cdot 10.31\approx 866.04{\text{см}}^3$$

Таким образом, объем прямоугольной призмы, у которой основание - треугольник со сторонами 13, 14 и 15 см, а площадь боковой поверхности призмы составляет 462 см², примерно равен 866.04 см³.