Каков объем правильной треугольной пирамиды с высотой 8 см и двугранным углом между боковой гранью и плоскостью

Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, сначала нужно найти площадь основания и затем умножить ее на высоту пирамиды и разделить на 3.

Для начала определим площадь основания пирамиды. Поскольку у нас правильная треугольная пирамида, основание будет представлять собой равносторонний треугольник. Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой площади равностороннего треугольника:

\[S_{\text{основания}} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4},\]

где \(a\) - длина стороны треугольника. Для нашего случая длину стороны можно найти, разделив периметр треугольника на 3:

\[a = \frac{{P_{\text{треугольника}}}}{3},\]

где \(P_{\text{треугольника}}\) - периметр треугольника. Так как у нас все стороны равны, то периметр будет равен произведению длины стороны на 3:

\[P_{\text{треугольника}} = a \cdot 3 = a \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a^2}{\sqrt{3}}.\]

Теперь, когда мы нашли периметр треугольника, можем продолжить нахождение площади основания:

\[S_{\text{основания}} = \frac{{\left(\frac{a^2}{\sqrt{3}}\right)^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{a^4}{4\sqrt{3}}.\]

Таким образом, мы нашли площадь основания пирамиды. Теперь осталось умножить ее на высоту пирамиды и разделить на 3. В нашем случае высота пирамиды равна 8 см:

\[V_{\text{пирамиды}} = \frac{{S_{\text{основания}} \cdot h_{\text{пирамиды}}}}{3} = \frac{{a^4 \cdot 8\text{ см}}}{3 \cdot 4\sqrt{3}} = \frac{{2a^4}}{{3\sqrt{3}}}\text{ см}^3.\]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды с высотой 8 см и двугранным углом между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды в 30° равен \(\frac{{2a^4}}{{3\sqrt{3}}}\text{ см}^3\).