Каков объем пирамиды, описанной около правильной треугольной пирамиды радиуса 3 см, если боковое ребро пирамиды

Для решения данной задачи, необходимо использовать некоторые геометрические свойства треугольной пирамиды.

Дано, что основание пирамиды - правильный треугольник радиуса 3 см. Значит, каждая сторона треугольника равна 6 см (так как радиус равен половине стороны правильного треугольника).

Также известно, что боковое ребро пирамиды образует угол в 60° с высотой. Поэтому, если мы нарисуем поперечное сечение пирамиды, то получим равнобедренный треугольник с углом в 60°. Высота обозначается как h, а основание равно 6 см.

Чтобы рассчитать объем пирамиды, вначале нам нужно найти высоту треугольной пирамиды, образованную прямой, проходящей через вершину до середины основания. Для этого, воспользуемся теоремой Пифагора в этом треугольнике.

\[h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}\]
где a - длина стороны (основания) треугольника.

Так как сторона треугольника a равна 6 см, подставим это значение в уравнение:

\[h^2 = \frac{3 \cdot 6^2}{4} = \frac{3 \cdot 36}{4} = \frac{108}{4} = 27\]

Теперь найдем высоту h:
\[h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\]

Для нахождения объема пирамиды, мы можем использовать формулу:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h\]

Площадь основания пирамиды можно найти, зная длину стороны треугольника a:

\[S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]

Зная, что a = 6 см, подставим значение в формулу площади основания:

\[S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3}\]

Теперь, подставим все найденные значения в формулу объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9 \cdot 3 = 27\]

Таким образом, объем пирамиды, описанной около правильной треугольной пирамиды радиуса 3 см, равен 27 кубическим сантиметрам.