Каков объем меньшего шарового сегмента, образованного плоскостью сечения шара радиусом 15 см, если площадь сечения

Шаровой сегмент образуется плоскостью, которая проходит через шар и разделяет его на две части: большую сферу и меньший сегмент. Мы знаем, что радиус шара составляет 15 см, и площадь сечения сегмента составляет 81pi квадратных сантиметров.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для нахождения объема шарового сегмента. Формула для объема шарового сегмента выглядит следующим образом:

\[V = \frac{h}{6}(3a^2 + h^2)\pi\]

где \(V\) - объем сегмента, \(h\) - высота сегмента и \(a\) - радиус сечения.

Для нашей задачи, радиус сечения \(a\) равен половине радиуса шара, то есть 15 см / 2 = 7.5 см.

Но нам нужно найти высоту сегмента \(h\). Для этого мы можем использовать формулу для вычисления площади сечения шара:

\[A = \pi r^2\]

где \(A\) - площадь сечения, \(r\) - радиус шара.

Мы знаем, что площадь сечения составляет 81pi квадратных сантиметров. Подставляя это значение в формулу, мы получаем:

\[81\pi = \pi \times 15^2\]

Решая это уравнение, мы можем вычислить радиус сечения:

\[15^2 = 225\]
\[81\pi = 225\pi \Rightarrow \pi = \frac{81\pi}{225}\]

Теперь у нас есть значение радиуса сечения \(a\) и радиуса шара \(r\), поэтому мы можем найти высоту сегмента:

\[h = r - a = 15 - 7.5 = 7.5\]

Зная радиус сечения \(a\) и высоту сегмента \(h\), мы можем подставить эти значения в формулу для объема шарового сегмента:

\[V = \frac{h}{6}(3a^2 + h^2)\pi\]
\[V = \frac{7.5}{6}(3 \times 7.5^2 + 7.5^2)\pi\]

Выполняя вычисления, мы получаем:

\[V = \frac{7.5}{6}(3 \times 7.5^2 + 7.5^2)\pi = 18.75(168.75 + 56.25)\pi \approx 18.75 \times 225\pi \approx 13281.25\pi \approx 41730.89 \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем меньшего шарового сегмента равен приблизительно 41730.89 кубических сантиметров.