Каков объем цилиндра, который вписан в правильную шестиугольную призму с длиной стороны основания 1 и длиной бокового

Для решения данной задачи, нам необходимо рассмотреть как выглядит цилиндр, вписанный в правильную шестиугольную призму.

Правильная шестиугольная призма представляет собой трехмерную фигуру, у которой основанием служит правильный шестиугольник, а все боковые грани являются прямоугольными.

Для того чтобы найти объем цилиндра, вписанного в данную призму, нам необходимо знать радиус и высоту этого цилиндра.

Чтобы найти радиус, обратимся к прямоугольной боковой грани призмы. Поскольку призма правильная, высота бокового ребра равна радиусу вписанного цилиндра.

Из условия задачи указана длина бокового ребра призмы, которая составляет 1 единицу. Значит, радиус цилиндра также будет равен 1.

Отдельно нужно найти высоту цилиндра. Рассмотрим правильный шестиугольник, служащий основанием призмы. Такой шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, каждый из которых образует угол внутри шестиугольника по 120 градусов. Высота цилиндра будет равна высоте одного из этих треугольников.

Для определения высоты треугольника, воспользуемся формулой:
\[H = a \times \frac{\sqrt{3}}{2}\]
где \(H\) - высота треугольника, а \(a\) - длина стороны треугольника.

У нас есть информация о длине стороны основания шестиугольника, которая составляет 1 единицу. Подставляя данное значение в формулу, получим:
\[H = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Теперь, когда мы знаем радиус цилиндра (\(r = 1\)) и его высоту (\(h = \frac{\sqrt{3}}{2}\)), можем найти объем цилиндра, который вычисляется по формуле:
\[V = \pi \times r^2 \times h\]
Подставляя значения, получим:
\[V = \pi \times 1^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}\]

Получаем, что объем цилиндра, вписанного в данную правильную шестиугольную призму, равен \(\frac{\pi\sqrt{3}}{2}\) кубических единиц.