Каков новый период колебаний пружинного маятника после погружения его в вязкую жидкость?

Для того чтобы определить новый период колебаний пружинного маятника после погружения его в вязкую жидкость, мы можем использовать закон Гука и уравнение движения для гармонического осциллятора с учетом силы трения. Давайте рассмотрим это подробнее.

Период колебаний пружинного маятника в отсутствие внешних сил определяется массой \(m\) подвесного груза и жесткостью \(k\) пружины по формуле:

\[T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Теперь, после погружения маятника в вязкую жидкость, мы должны учесть силу трения \(F_{\text{тр}}\), которая действует на маятник и пропорциональна скорости его движения. Сила трения можно выразить следующим образом:

\[F_{\text{тр}} = -b\cdot v\]

где \(b\) - коэффициент вязкого трения и \(v\) - скорость маятника.

Согласно второму закону Ньютона, сила трения также может быть записана как произведение массы маятника на его ускорение:

\[F_{\text{тр}} = -m\cdot a\]

где \(a\) - ускорение маятника.

Равенство между этими выражениями даёт нам:

\[m\cdot a = -b\cdot v\]

Учитывая, что ускорение является производной скорости по времени (\(a = \frac{{dv}}{{dt}}\)), мы можем получить следующее дифференциальное уравнение:

\[m\cdot \frac{{dv}}{{dt}} = -b\cdot v\]

Данное дифференциальное уравнение можно решить с использованием методов математического анализа, и оно имеет следующее решение:

\[v(t) = v_0 \cdot e^{-\frac{bt}{m}}\]

где \(v_0\) - начальная скорость маятника в момент погружения его в жидкость.

Теперь, когда у нас есть уравнение для скорости маятника, мы можем определить период колебаний в вязкой жидкости путем анализа времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в \(e\) раз.

Максимальная амплитуда колебаний маятника в вязкой жидкости уменьшается по экспоненциальному закону с течением времени:

\[A(t) = A_0 \cdot e^{-\frac{bt}{2m}}\]

где \(A_0\) - начальная амплитуда колебаний маятника в момент погружения его в жидкость.

Теперь, чтобы определить новый период колебаний, мы ищем момент времени \(T\), при котором амплитуда колебаний уменьшается в \(e\) раз от начальной амплитуды:

\[A(T) = \frac{{A_0}}{{e}}\]

Подставляя выражение амплитуды в это уравнение, мы получаем:

\[A_0 \cdot e^{-\frac{bT}{2m}} = \frac{{A_0}}{{e}}\]

Сокращая \(A_0\), умножая обе части уравнения на \(e\), и прологарифмировав обе стороны, получаем:

\[-\frac{{bT}}{{2m}} = \ln(e^{-1}) = -1\]

Умножая обе части уравнения на \(-\frac{{2m}}{{b}}\) и меняя знак, получаем окончательный ответ:

\[T = \frac{{2m}}{{b}}\]

Таким образом, новый период колебаний пружинного маятника после погружения его в вязкую жидкость равен \(\frac{{2m}}{{b}}\), где \(m\) - масса маятника, а \(b\) - коэффициент вязкого трения.