Каков коэффициент затухания, если амплитуда колебаний уменьшается в 5 раз за время 16,1 секунды? За какое время

Чтобы решить эту задачу, нам нужно воспользоваться формулой для затухающих колебаний вида:

\[A(t) = A_0 \cdot e^{-\gamma t}\]

где:
- \(A(t)\) - амплитуда колебаний в момент времени \(t\),
- \(A_0\) - начальная амплитуда колебаний,
- \(\gamma\) - коэффициент затухания,
- \(e\) - основание натурального логарифма.

Дано, что амплитуда колебаний уменьшается в 5 раз за время 16,1 секунды. Подставим это в формулу:

\[A(16.1) = A_0 \cdot e^{-\gamma \cdot 16.1} = \frac{1}{5} \cdot A_0\]

Теперь мы можем рассчитать значение коэффициента затухания \(\gamma\).

Для начала возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

\[\ln(A(16.1)) = \ln\left(\frac{1}{5} \cdot A_0\right) = \ln\left(\frac{1}{5}\right) + \ln(A_0) = -\ln(5) + \ln(A_0)\]

Теперь, используя свойство логарифмов \(\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)\), можно переписать выражение следующим образом:

\[\ln(A(16.1)) - \ln(A_0) = -\ln(5)\]

Применим это свойство и упростим выражение:

\[\ln\left(\frac{A(16.1)}{A_0}\right) = -\ln(5)\]

Заметим, что выражение \(\frac{A(16.1)}{A_0}\) равно \(e^{-\gamma \cdot 16.1}\), поэтому мы можем переписать уравнение в виде:

\[e^{-\gamma \cdot 16.1} = \frac{1}{5}\]

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

\[\ln\left(e^{-\gamma \cdot 16.1}\right) = \ln\left(\frac{1}{5}\right)\]

Свойство \(\ln(e^a) = a\) позволяет упростить выражение:

\[-\gamma \cdot 16.1 = \ln\left(\frac{1}{5}\right)\]

Осталось только найти значение \(\gamma\). Разделим обе части уравнения на -16.1:

\[\gamma = -\frac{\ln\left(\frac{1}{5}\right)}{16.1}\]

Вычислим это значение:

\[\gamma \approx 0.231\]

Таким образом, коэффициент затухания составляет около 0.231.

Далее, нам нужно рассчитать время (\(t\)), за которое амплитуда уменьшится в \(e\) раз. Заметим, что если амплитуда уменьшится в \(e\) раз, то это означает, что соотношение амплитуд равняется \(e^{-\gamma t} = \frac{1}{e}\). Решим это уравнение относительно \(t\):

\[e^{-\gamma t} = \frac{1}{e}\]

Возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

\[\ln\left(e^{-\gamma t}\right) = \ln\left(\frac{1}{e}\right)\]

Используя свойство \(\ln(e^a) = a\), получим:

\[-\gamma t = -1\]

Теперь разделим обе части уравнения на \(-\gamma\):

\[t = \frac{1}{\gamma}\]

Подставим значение \(\gamma \approx 0.231\) и рассчитаем значение \(t\):

\[t \approx \frac{1}{0.231} \approx 4.33\]

Таким образом, амплитуда уменьшится в \(e\) раз примерно за 4.33 секунды.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять задачу! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать.