Каков градиент потенциала положительного точечного заряда в точке, находящейся на расстоянии r от заряда? Найти

Конечно! Для начала, давайте вспомним, что такое градиент потенциала. Градиент потенциала это векторная величина, которая указывает на направление наиболее быстрого изменения потенциала в данной точке поля.

У нас есть положительный точечный заряд, и мы хотим найти градиент его потенциала в точке, находящейся на расстоянии r от заряда. В этом случае, мы можем воспользоваться формулой для потенциала одиночного точечного заряда:
\[V = \frac{{kQ}}{{r}}\],
где V - потенциал, k - постоянная Кулона (\(k = \frac{{1}}{{4\pi\epsilon_0}}\), где \(\epsilon_0\) - электрическая постоянная, равная приблизительно \(8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м}\)), Q - значение заряда, r - расстояние от заряда.

Что мы хотим сделать, так это найти градиент этой функции в точке, находящейся на расстоянии r от заряда. Для этого нам нужно взять частные производные этой функции по осям x, y и z.

Так как у нас точечный заряд, то функция зависит только от расстояния r. Поэтому мы можем записать потенциал как функцию одной переменной: \(V(r)\). В этом случае, градиент потенциала будет иметь только радиальную составляющую, так как нет зависимости от направления.

Возьмем частную производную потенциала по r, чтобы найти радиальную составляющую градиента:
\[\frac{{\partial V}}{{\partial r}} = -\frac{{kQ}}{{r^2}}\].

Теперь нам нужно определить направление градиента. В данном случае, градиент будет направлен в сторону убывания потенциала. То есть, в данном случае градиент будет направлен к отрицательному заряду.

Таким образом, градиент потенциала положительного точечного заряда в точке, находящейся на расстоянии r от заряда, равен \(-\frac{{kQ}}{{r^2}}\), и его направление указывает к отрицательному заряду.