Каков градиент функции z = 2x^2 - 3xy + y^3 в точке M0 (2;1)?

Хорошо, давайте начнем с решения вашей задачи!

Градиент функции используется для нахождения вектора, указывающего направление наибольшего возрастания функции в заданной точке. Градиентный вектор выглядит следующим образом:

\[\nabla f=\left(\frac{{\partial f}}{{\partial x}},\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\right)\]

где \(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\) - частная производная функции по переменной x,
а \(\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\) - частная производная функции по переменной y.

В данной задаче у нас функция \(z = 2x^2 - 3xy + y^3\). Для нахождения градиента, нам необходимо вычислить частные производные.

Начнем с частной производной по переменной x (\(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\)). При дифференцировании функции по x, мы рассматриваем y как константу и дифференцируем только по x. В данном случае, частная производная будет равна:

\(\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 4x - 3y\)

Теперь найдем частную производную по переменной y (\(\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\)). В этом случае мы рассматриваем x как константу и дифференцируем только по y. Частная производная будет равна:

\(\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = -3x + 3y^2\)

Теперь, когда мы вычислили обе частные производные, мы можем найти градиентный вектор в точке M0 (2;1). Подставим значения x=2 и y=1 в наши производные:

\(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(2,1) = 4 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 8 - 3 = 5\)

\(\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(2,1) = -3 \cdot 2 + 3 \cdot 1^2 = -6 + 3 = -3\)

Таким образом, градиент функции z = 2x^2 - 3xy + y^3 в точке M0 (2,1) будет равен вектору \(\nabla f(2,1) = (5, -3)\).

Надеюсь, это решение помогло вам лучше понять, как найти градиент функции в заданной точке.