Каков будет средний продукт капитала при использовании 5 машино-часов в соответствии с производственной функцией

Для решения этой задачи, нам нужно вычислить средний продукт капитала по заданной производственной функции \(Q = 30K - 2K^2\), где \(K\) - количество машино-часов.

Шаг 1: Вычисление среднего продукта капитала при использовании 5 машино-часов.
Для начала, найдем количество продукции, получаемое при использовании 5 машино-часов. Подставим \(K = 5\) в производственную функцию:

\[Q = 30 \cdot 5 - 2 \cdot 5^2\]

Выполняем вычисления:

\[Q = 150 - 2 \cdot 25\]

\[Q = 150 - 50\]

\[Q = 100\]

Теперь нам нужно найти средний продукт капитала, который выражается по формуле:

\[\text{Средний продукт капитала} = \frac{Q}{K}\]

Подставим полученное значение продукции \(Q = 100\) и количество машино-часов \(K = 5\):

\[\text{Средний продукт капитала} = \frac{100}{5} = 20\]

Таким образом, при использовании 5 машино-часов средний продукт капитала равен 20.

Шаг 2: Сравнение с предельным продуктом на 6 единиц больше.
Чтобы сравнить средний продукт капитала с предельным продуктом на 6 единиц больше, нам понадобится вычислить предельный продукт капитала. Предельный продукт капитала показывает, на сколько единиц изменится продукция при увеличении капитала на одну единицу.

Для этого, нам нужно найти производную производственной функции по переменной \(K\), и подставить \(K = 5 + 6\).

\(\frac{{dQ}}{{dK}} = 30 - 4K\)

Подставляем \(K = 5 + 6\):

\(\frac{{dQ}}{{dK}} = 30 - 4 \cdot 11 = 30 - 44 = -14\)

Таким образом, предельный продукт капитала на 6 единиц больше равен -14.

Сравним средний продукт капитала со значениями предельного продукта:

\(\text{Средний продукт капитала} = 20\) (при использовании 5 машино-часов)

\(\text{Предельный продукт капитала на 6 единиц больше} = -14\)

Мы видим, что средний продукт капитала значительно больше, чем предельный продукт на 6 единиц больше.

Шаг 3: Сравнение с предельным продуктом, который больше в 2 раза.
Для этого, нам нужно вычислить предельный продукт капитала, который больше среднего продукта в 2 раза.

Умножим средний продукт капитала (\(20\)) на 2:

\(2 \cdot 20 = 40\)

Теперь нам нужно найти значение капитала, при котором предельный продукт равен 40. Подставим \(40\) в формулу предельного продукта:

\(30 - 4K = 40\)

Выполняем вычисления:

\(4K = 30 - 40\)

\(4K = -10\)

\(K = -\frac{10}{4} = -2.5\)

Мы получили отрицательное значение для капитала, что не имеет физического смысла в данной задаче. Поэтому мы не можем найти предельный продукт, который был бы больше среднего продукта в 2 раза.

Шаг 4: Сравнение с предельным продуктом на 6 единиц меньше.
Для этого, нам нужно вычислить предельный продукт капитала, который меньше среднего продукта на 6 единиц.

Вычитаем 6 из среднего продукта капитала (\(20\)):

\(20 - 6 = 14\)

Теперь мы должны найти значение капитала, при котором предельный продукт равен 14. Подставляем \(14\) в формулу предельного продукта:

\(30 - 4K = 14\)

\(4K = 30 - 14\)

\(4K = 16\)

\(K = \frac{16}{4} = 4\)

Таким образом, предельный продукт капитала на 6 единиц меньше равен 14.

Сравним средний продукт капитала со значениями предельного продукта:

\(\text{Средний продукт капитала} = 20\) (при использовании 5 машино-часов)

\(\text{Предельный продукт капитала на 6 единиц меньше} = 14\)

Мы видим, что средний продукт капитала больше, чем предельный продукт на 6 единиц меньше.

Шаг 5: Сравнение с предельным продуктом, который больше в 1,5 раза.
Для этого, мы должны вычислить предельный продукт капитала, который больше среднего продукта в 1,5 раза.

Умножим средний продукт капитала (\(20\)) на 1,5:

\(1,5 \cdot 20 = 30\)

Теперь нам нужно найти значение капитала, при котором предельный продукт равен 30. Подставим \(30\) в формулу предельного продукта:

\(30 - 4K = 30\)

Выполняем вычисления:

\(4K = 30 - 30\)

\(4K = 0\)

\(K = \frac{0}{4} = 0\)

Мы получили значение капитала равное 0 при предельном продукте, который больше в 1,5 раза. Такое значение капитала не имеет физического смысла в данной задаче. Поэтому мы не можем найти предельный продукт, который был бы больше среднего продукта в 1,5 раза.

Таким образом, мы рассмотрели все указанные сравнения и сделали выводы относительно среднего продукта капитала при использовании 5 машино-часов в соответствии с заданной производственной функцией.